Chuyên đề toán học: Sử dụng phương pháp đồ thị để giải & biện luận hệ phương trình

 < 
 m < 0 
 hệ vô nghiệm.
 ■d1 và d2 cùng tiếp xúc với (C)
 R = 
 m = 0 
 hệ có hai nghiệm phân biệt. 
■d1 và d2 cùng cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 
 R > 
 m = 0 hệ có bốn nghiệm phân biệt.
Đường thẳng thay đổi,đường tròn thay đổi:
Ví dụ 1: 
Biện luận số nghiệnm của hệ theo a .
 Giải: 
Ta thấy:
 ♥ (1) là đường thẳng () : x + y = 2a - 1.
 ♥ (2) là đường tròn (C) tâm I(0,0), bán kính R = .
■Hệ có hai nghiệm phân biệt
 d(I,) < R
 < 
 (2- 1)2 < 2(2 + 2 + 3)
 2a2 - 8a - 5 < 0
 < a < 
■Hệ có một nghiệm 
 d(I,) = R
 .
■Hệ vô nghiệm
 d(I,) > R
Ví dụ 2: 
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất (I)
Giải:
Điều kiện: 
Ta có: (I) (II) 
Đặt: 
Hệ đã cho trở thành: ( điều kiện a -1/2).
Gọi X, Y là tập nghiệm của (1’) vàv (2’).
Ta thấy:
 ♥ X là tập hợp điểm trên đường thẳng d: u + v – a = 0.
 ♥ Y là tập hợp điểm trên đường tròn (C) tâm O(0,0), bán kính R = .
■Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 
 (C) tiếp xúc với (d).
 d(O,) = R 
 = 
 a2 – 4a - 2 = 0 
 ♣ Với điều kiện a-1/2, ta lấy nghiệm cả hai nghiệm trên.
Chuyển từ phương trình về hệ phương trình:
Ví dụ: 
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:= x - m (1).
Giải:
Điều kiện: 1 - x2 0 |x| 1.
Đặt y = 0.
Khi đó phương trình chuyển thành hệ: .
Ta thấy: 
 ♥ (2) là phần nửa đường tròn đơn vị (C) có tâm O(0,0) phía trên trục hoành, bán kính R=1.
 ♥ (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất 
x – y = 0.
Tìm vị trí tới hạn cho (d):
 + A(0,1) (d) m = -1. 
 + B(-1,0) (d) m = -1. 
 +(d) tiếp xúc với phần trên của đường tròn (C) thì d(O,(d)) = R m = .
Vậy: 
♣ Với m 1 thì (C) không cắt (d) hay (1) vô nghiệm.
♣ Với m = - hoặc |m| < 1 thì (C) giao (d) tại A hay (1) có nghiệm duy nhất. ♣ Với - < m -1 thì (C) cắt (d) tại A và B hay (1) có hai nghiệm phân biệt.
♠ Bài tập tự giải:
Cho các hệ phương trình: 
 a.. b.. 
 c.. d. .
Xác định các giá trị của a (m) để hệ có nghiệm duy nhất. 
2. Cho hệ: 
a. Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt. 
b. Chứng minh rằng: (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 1 với (x1,y1), (x2,y2) là nghiệm của hệ đã cho. 
3. Giải và biện luận các hệ phương trình, phương trình sau theo tham sốm. 
 a.. b. .
 c.. d..
 e. . f. = x - m.
 g. = x- m. 
3. Sự tương giao giữa đường thẳng và Conic:
3.1Đường thẳng và Hyperbol:
Ví dụ 1: 
Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: (I) 
Giải:
Ta có: 
(I) .
Ta thấy: 
 ♥ (1) là phương trình của Hyperbol (H).
 ♥ (2) là phương trình của đường thẳng. 
■Hệ có nghiệm duy nhất
 (H) tiếp xúc với (d)
 m2 = 16 - 9 
 m = 
Ví dụ 2: 
Biện luận theo m số nghiệm của 
phương trình: =x-m (1).
 Giải:
Đặt y = 0.
Khi đó phương trình chuyển thành hệ: .
Ta thấy:
 ♥ (2) là phương trình của Hyperbol có tâm là gốc O.
 ♥ (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với phân giác góc phần tư thứ nhất x – y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). 
Ta tìm hai vị trí tới hạn cho (d) là: 
 + A(3,0) (d) m = 3.
 + B(-3,0) (d) m = -3.
Vậy: 
 ♣ Với -3 3 thì (H) (d) = (1) vô nghiệm. 
 ♣ Với m -3 hoặc 0 < m 3 thì (H) (d) tại một điểm (1) có nghiệm duy nhất. 
sự tương giao giữa đường thẳng và Elip:
Ví dụ:
 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: = x - m (1). 
 Giải:
Đặt: y = 0. 
Khi đó phương trình chuyển thành hệ:
 (y0).
Ta thấy: 
 ♥ (2) là phương trình elip (E)
 có tâm là gốc O. 
 ♥ (3) là phương trình đường 
thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x – y = 0.
Ta tìm hai vị trí tới hạn của (d) là:
 + A(2,0) (d) m = 2. 
 + B(-2,0) (d) m = -2.
 + (d) tiếp xúc với nửa trên của elip (E) A2a2 + B2b2 = C2
 m2 = 16 
Chỉ lấy giá trị m = -4.
Vậy:
 ♣ Với m 2 thì (d) không cắt (E) nên phương trình vô nghiệm.
 ♣ Với m = -4 thì (d) giao (E) tại A nên phương trình có nghiệm đuy nhất.
 ♣ Với -4 < m < -2 thì (E) cắt (d) tại hai điểm nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Chú ý: 
 * Phương pháp trên được mở rộng cho trường hợp elip có tâm khác O.
 * Có thể sử dụng phép biến đổi đặt y = , khi đó hệ đưa về dạng 
 . .
♠ Bài tập tự giải:
Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
 a. = x - m.
 b. = m - 3x.
 c. = x - m
3.3 Sự tương giao của đường thẳng và Parabol:
Ví dụ 1: 
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 Giải: 
Đặt: y = x2 + 2x . Khi đó phương trình được 
chuyển về hệ: .
Ta thấy:
 ♥ (2) là phương trình parabol 
 (P) đỉnh A(-1,1). 
 ♥ (3) là phương trình đường 
thẳng (d) song song với Ox.
+(d) (P) = 
 m – 4 = -1
 m = 3.
+ (d) (P) = 
 m – 4 < -1
 m < 3.
+ (d)(P) tại hai điểm 
 m – 4 > -1
 m > 1.
Vậy:
 ♣ Với m < 3: phương trình vô nghiệm.
 ♣ Với m = 3: phương trình có nghiệm kép x = -1.
 ♣ Với m > 3 phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt? 
 = m4 - m2 + 1 (1).
HD: (1) |x2 - 4x + 3| = 
Muốn phương trình có bốn nghiệm phân biệt
thì đường thẳng y = a phải nằm trong khoảng 
tạo bởi hai đường thảng y = 0 và y = 1.
 .
4. Sự tương giao của đường thẳng và đường bậc cao:
4.1Với đường bậc ba: 
Bài toán:
Biện luận số nghiệm của hệ sau: (I)
Giải:
+ a(m) = 0,
 (I) trở thành (II)
Trường hợp 1: C không có cực trị, 
(d) luôn cắt C tại duy nhất một điểm,
 nên (II) luôn có nghiệm duy nhất với mọi b(m).
Trường hợp 2: C có 2 cực trị.
 (II) có nghiệm duy nhất.
 (II) có 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm kép.
 (II) có 3 nghiệm phân biệt.
+ a(m) , 
(I) trở thành (III)
Giả sử qua điểm M cố định.
Trường hợp 1: C không có cực trị.
M C, thì qua M có duy nhất 
một tiếp tuyến của C là T có hệ số góc .
a(m) > thì (III) có 3 nghiệm phân biệt.
a(m) = thì (III) có 2 nghiệm, trong đó 
ó một nghiệm kép.
a(m) < thì (III) có 1 nghiệm duy nhất.
M C\, thì qua M có 2 tiếp tuyến của
C là d1 và d2 lần lượt có hệ số góc .
thì (III) có 3 nghiệm phân biệt.
 thì (III) có 2 nghiệm, trong đó có một nghiệm kép.
 thì (III) có 1 nghiệm duy nhất.
M ≡ C, thì qua M có 1 tiếp tuyến của C là T.
a(m) > thì (III) có 3 nghiệm phân biệt.
a(m) thì (III) có 1 nghiệm.
Trường hợp 2: C có 2 cực trị.
M V(I), thì qua M có 3 tiếp tuyến của C.
V(I), thì qua M có 3 tiếp tuyến của C.
M V(II), thì qua M có 1 tiếp tuyến của C.
M , , thì qua M có 2 tiếp tuyến.
M C\, thì qua M có 2 tiếp tuyến của C.
M U, thì qua M có 1 tiếp tuyến của C.
 Tùy theo số tiếp tuyến mà ta sẽ biện luận 
số nghiệm của (III) theo điều kiện của a(m).
Với đường bậc bốn: 
Bài toán: 
Giải biện luận hệ phương trình sau theo m (I) 
Điều kiện: a , qua điểm M cố định.
Giải:
a(m) = const, thì (I) biện luận được theo m khi
 y’ = = 0
nhẩm được 1 nghiệm.
Ví dụ: 
Biện luận số nghiệm của phương trình
=0 (1) 
Hướng dẫn:
Chuyển (1) về hệ phương trình sau
 (I) 
Do đó:
m > -2: hệ có 2 nghiệm.
m = 2: hệ có 3 nghiệm.
 : hệ có 4 nghiệm.
m = - 9/4: hệ có 3 nghiệm.
m < -9/4: hệ vô nghiệm.
a(m) , thì chỉ xét (C) là đồ thị của hàm trùng phương bằng cách dùng tiếp tuyến. Để dựng được tiếp tuyến qua M thì điểm M khi ra đề phải chọn thích hợp như nằm trên một tiếp tuyến tuyến cố định có hoành độ tiếp điểm nguyên. Đây cũng là điều kiện trong trường hợp C là đồ thị của hàm bậc ba hay hàm bậc cao khác
III Mở rộng vấn đề:
	♦Về phương pháp:
*Khoảng cách:
☻Họ đường tròn: C(m): 
+Đặc trưng:
Tâm I(a(m),b(m)).
 Bán kính |R(m)|.
Qua 2 điểm cố định. 
* Tiếp tuyến:
Xét bái toán biện luận số nghiệm của hệ
với f(x) là các hàm đã học trong chương trình phổ thong như: hàm bậc nhất, hàm bậc hai, hàm bậc ba, hàm bậc bốn , phương trình Hyperbol, Elip, đường tròn ( những trường hợp này đã khảo sát trong tiểu luận), phương trình căn thức, mũ, logarit, lượng giác, phân tuyến tính( bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc hai).
*Tiệm cận:
☻Họ Hyherbol: 
+Đặc trưng:
Tiệm cận: 
Qua hai điểm cố định.
☻Parabol tiệm cận: Mở rộng ví dụ sau đồ thi của C: tiệm cận với Parabol
P: y = khi x.
*Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và conic.
 ♦ Về đặc điểm đồ thi.:
*Parabol: y = 
+Đặc trưng:
Đỉnh I().
Hệ số bậc nhất:
 c. Qua 2 điểm cố định.
*Biến đổi đồ thị:
☻ Các phép tịnh tiến, đối xứng.
☻Cách ghép đồ thị: 
f(x) = 
☻Cách dùng trị tuyệt đối:
y=bậc haibậc hai
y=|bậc haibậc hai |
y=|bậc hai|bậc hai
y=bậc hai|bậc hai|
y=|bậc haibậc hai |
KẾT LUẬN CHUNG
♦ Phương pháp:
Biện luận theo các vị trí tới hạn( tiếp tuyến, tiệm cận, điều kiện tiếp xúc).
Sử dụng các đặc trưng của đồ thị (hệ số góc, tâm, qua điểm cố định,..)
♦ Cách ra đề:
Đủ điều kiện để xác định các vị trí tới hạn của đồ thị xác định.
Một yếu tố của đồ thị hàm chứa tham số chưa xác định.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Lê Hồng Đức, Phương trình và hệ phương trình, NXB Đại học Sư Phạm, 2004.
Lê Hồng Đức- Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng, NXB Hà Nội, 2006.
Trần Phương- Lê Hồng Đức, Đại số sơ cấp, NXB Hà Nội,2006.
Trần Phương- Lê Hồng Đức,Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp, NXB Hà Nội, 2007.
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU------------------------------------------------------------------------------------------1
Cơ sở xuất phát-----------------------------------------------------------------------------------2
Sự tương giao giữa đường thẳng- đường cong--------------------------------------------3
Đường thẳng – đường thẳng-----------------------------------------------------------------3
Đường thẳng – đường tròn-------------------------------------------------------------------4
Đường thẳng – đường Conic----------------------------------------------------------------13
Đường thẳng – đường bậc cao--------------------------------------------------------------16 
Mở rộng vấn đề-------------------------------------------------------------------------------19
KẾT LUẬN CHUNG------------------------------------------------------------------------------------21
TÀI LIỆU THAM KHẢO ------------------------------------------------------------------------------21
MỤC LỤC-------------------------------------------------------------------------------------------------22