Chuyên đề Tứ diện - Nguyễn Phú Khánh

 Tính bán kính r của ( )S . 
IOAB IOBC IOCA IABC OABCV V V V V+ + + = 
( )OAB OBC OCA ABC
r abc
S S S S
3 6∆ ∆ ∆ ∆
+ + + = 
2 2
ABC
2 2 2 21S a b b c a c
2∆
= + + 
2 2 2 2 2 2a b b c a c
r abc
ab bc ca
6 6
 + + + = 
 
+ +
2 2 2 2 2 2a
abc
r
a b b c a cb bc ca
=
+ + + ++
2. 
Ta có: 
b c a c a b
M 0; ; , N ;0; , P ; ;0
2 2 2 2 2 2
     
     
     
( )OMN
bc ac ab
n OM,ON ; ; ,
4 4 4
  = = −    

 



 



( )OMP
bc ac ab
n OM,OP ; ;
4 4 4
  = = − −    

 



 



y
z
x
M
N
P
O
B
C
A
Giả thiết, suy ra ( ) ( )OMN OMPn .n 0=

 

2 2 2 2 2 2b c a c a b
0
16 16 16
⇔ − + + = 
2 2 2
1 1 1
a b c
⇔ = + 
Bài tập 7: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: ( ) ( ) ( ) ( )O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
)Nguyễn Phú Khánh 
 20 
1. Tính OH, OG và ABCS∆ theo 
a, b, c. 
2 2 2a b c 1G ; ; OG a b c
3 3 3 3
 
⇒ = + + 
 
2 2 2 2 2 2a b b a
1
cS
2
c+ += 
Ta có: 
AB CH
AB OC
 ⊥

⊥
( )AB OCH⇒ ⊥ ⇒ΑΒ ⊥ ΟΗ 
Tương tự: AC OH⊥ 
( ) ( )OH ABC OH d O, ABC ⇒ ⊥ ⇒ =   
( )ABC : bcx acy abz abc 0+ + − = 
z
y
x
O
B
C
A
H
2 2 2 2 2 2
abc
OH
a b b c a c
⇒ =
+ +
2. Chứng minh ABC∆ có ba góc nhọn và 2 2 2a tan A b tan B c tanC.= = 
Ta có: ( )( ) 2 AB.ACAB.AC a; b;0 a;0;c a 0 A
AB.AC
0 cosA= − − = > ⇒> ⇒ =



 






 



 nhọn. 
Tương tự B, C nhọn. 
Ta có: 
ABC
ABC
ABC
2
2S
sin A
2SAB.AC tan A a tan A 2S
AB.AC AB.ACcos A
AB.AC
∆
∆
∆

=
⇒ = ⇒ =
 =



 


 


 


 
Tương tự cho 2 2b tan B c tan C.= 
Bài tập 8: Gọi I là trung điểm AB. Trong ( )ABC vẽ Ay AB⊥ 
Ta có: CI
2
a 3
= 
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: ( ) ( ) ( ) a aA 0;0;0 , B a;0; 0 , S 0;0; h C ; 0
2
3
;
2
 
⇒   
 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
)Nguyễn Phú Khánh 
 21 
x
z
y
 H
I
C
A
S
B
D
1. Tính ( )d A, SBC   theo a và h. 
Gọi ( ) ( ) ( )Ay D 0;a 3; 0 SD B BC SBDC∩ ⇒ ≡= ⇒ 
( ) ( )
2
3
SBC : h 3x hy a 3z a
ah
d A, SBCh 3
3a 4
0
h
 ⇒⇒ + + − = = 
+
2. Chứng tỏ ∆ luôn đi qua điểm cố định khi S di động trên d. 
Gọi ( ) ( ) ( ) ( )S, , B,α ≡ ∆ β ≡ ∆ 
Ta có: ( ) ( ) ( )BC, SC SH BC, BC, BH SC, SCα ⊥ β ⊥ ⊥ ∆ ⊥ ⊥ ∆ ⊥ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3;0 3; 2ha 1BC 1; , SC a;a : x : a x a a2 2 3y 0, 3y 2hz 0= − − = ⇒− = − =α − β − +



 


( )
( )
x
a x a a
3y 0
:
3y 2hz 0
 =
⇒ ∆ 
− =
−
− +
∆ qua điểm cố định khi h thay đổi. 
a
x
2x
a
z 0 y
2
x z
3y 0
3
3y a 0

=
 − 
 
⇔ = ⇔ = ⇒ ∆ 
 
−

=
 =

=
 qua 
a a
G ; ;
2 3
0
2
 
 
 
 cố định 
 3. Tính h theo a để SS' nhỏ nhất. 
Ta có: ( )
2
2d S' 0;0; s' ,S' hs'
a
S' 0 s'
2h
a∈ ⇒ ∈∆⇒ − = ⇒ = −2 − 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
)Nguyễn Phú Khánh 
 22 
2 2 2a
2 h a 2
2h
a a
S' 0;0; SS' h
2h 2h
 
⇒ − ⇒ = + 
 
 
≤ = 
2
min
a a
SS' a 2 h h
2h 2
⇒ = ⇔ = ⇔ = 
Bài tập 11: Trong mặt phẳng ( )ABC , vẽ Ay AB.⊥ 
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho ( ) ( ) ( ) ( )A 0;0; 0 , B a;0;0 , C a;a;0 , S 0;0;a 2 
a a
D ; ;0
2 2
 
⇒  
 
1. Chứng minh khoảng cách từ A đến ( )SBC gấp đôi khoảng cách từ D đến ( )SBC . 
Ta có: 
( )
( )
BS a 1;0;
BC a 0;1;0
2 = − −

 =






 ( ) ( )SBC 2 1n ; 0;⇒ =


( ) 2x z aS C : 0B 2+ − =⇒ 
( )
a a
d A, SBC
3 3
2 6−  = =  , ( )
a
a
2 a
d D, SB
6
2
2
3
C
6
−
  = =  
Vậy, khoảng cách từ A đến ( )SBC gấp đôi khoảng cách từ D đến ( )SBC . 
2. 
Ta có: ( ) ( ) ( )2 2SC 2z 0a 1;1; n 1;1; : x yα= − ⇒ = − ⇒ α + =−


 

Phương trình tham số của ( )
x a t
SB : y 0 t
z t2
 = +

=

= −
∈ qua B và u BS.=

 


a 2a a
a t 2t 0 t N ; 0; M
3 3
2
3
 
⇒ + + = ⇒ = − ⇒ ⇒  
 
 là trung điểm 
a a a
SC M ; ;
2 2 2
2 
⇒   
 
- Chứng minh AMN∆ là thiết diện giữa ( )α và tứ diện SABC. 
Ta có 
22a 2a a a 2a
NS.NB ;0; ;0; 0
3 3 3
2
3
2
3
  
= − − = − < ⇒ Ν    
  



 



 thuộc cạnh SB và M 
trung điểm cạnh SC 
Vậy AMN∆ là thiết diện giữa ( )α và tứ diện SABC. 
- Tính thể tích hình chóp SAMN. 
( )
3
SAMN
1 1 a a a 2a a a
V AS,AM .AN 0;0;a , ; ; ; 0;
6 6 2 2 2 3 3 1
2 2 2
2
8
    
 = = =              



 



 



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
)Nguyễn Phú Khánh 
 23 
3. Tính cosin góc ϕ giữa mặt phẳng ( )ASC và ( )SCB 
Ta có ( ) ( )AM SC MA.MNAMN SC MA,MN cosMN SC MA.M
3
N 3
 ⊥
⊥ ⇒ ⇒ϕ = ⇒ ϕ = =
⊥




 








 




Bài tập 15: Gọi D là trung điểm AB OD OH⇒ ⊥ 
3
3
a 4a 1 a
A
3
H BC D BC
2 4
= ⇒ = ⇒Ο = = 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: ( ) ( ) ( )aO 0;0;0 , D ;0;0 , H 0;a;0 , S 0;0; 2a
3
 
 
 
( ) 2a 2aA 0; a;0 , B ;a;0 , C
3
;a
3
;0
   
⇒ − −   
   
1. Tính góc cosin ϕ góc 
giữa ( )BSA và ( )SAC 
Vẽ BE SA⊥ tại 
E CE SA BEC⇒ ⊥ ⇒ ϕ = 
( ) ( )SA 0;a; 2a a 0;1; 2= =



Phương trình tham số của 
( )
x 0
SA : y a t t .
z 2t
 =

= − +
 =
∈

 
Phương trình mặt phẳng 
( )BCE : y a 2z 0− + = 
2a
2a t 4t 0 t
5
⇒ − + + = ⇒ = 
y
x
z
φ
D
M
Q
N
P
B
A
O
H
S
E
I
C
( )
2a 8a 4a
EB ; ;
5 53a 4a 7
E 0; ; cos cos EB,EC
5 5 172a 8a 4a
EC ; ;
3
3 5 5
  
= −  
    ⇒ − ⇒ ⇒ ϕ = = 
    = − −   





 





2. 
- Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x. 
Ta có ( ) ( ) ( )I 0; m;0 , OH a 0;1;0 MNPQ : y m 0= ⇒ − =




( ) ( ) ( ) ( )2a 2a a aAB 1; , AC 1; ,3;0 3; 0 3; 2 3 3; 2 3
3 3 3
SB 2; , SC 2
3
;= = − − = = −− −



 


 

 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
)Nguyễn Phú Khánh 
 24 
Phương trình tham số của ( )
x t
a m
AB : y a t t M ; m;0
3z 0
3
 =
  +
= − + ⇒  
  =
∈

 
Phương trình tham số của ( )3
x t
a m
AC : y a t t N ; m;0
3z 0
 =
  − −
= − − ⇒  
  =
∈

 
Phương trình tham số của ( )
x 2t
2m
SB : y t t Q ; m; 2a 2m
z 2a 2 3
3
3
t
 =
  
= ⇒ −  
 
=
∈
−
 
Phương trình tham số của ( )3
3
3
x 2t
2m
SC : y t t P ; m; 2a 2m
z 2a t2
 =
  
= − ⇒ − −  
 
=
∈
+
 
( ) ( ) ( )2MNPQ 21 2S MQ,MP MQ,MN 3m 2am a
32
 = + = − + +  




 


 



 




- Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. 
Cách 1: 
Bảng xét dấu: 
m −∞ 
a
3
 +∞ 
2 23m 2am a− + + 
24a
3
− 
−∞ −∞ 
MNPQ
2
S
8a
3 3
≤⇒ 
Vậy ( )MNPQ max
2
S
3
8a
3
= khi 
a
m
3
= 
Cách 2: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
( )
( ) 2
MNPQ
2
8
a
a m m
3a
3 a m m 2 3
3 2
S 2
3
a
3
  
− + +      − + ≤    
 
=
 
= 
( ) x
2
MNPQ ma
3
8a a a
S a m m m
3 33
⇒ = ⇔ − = + ⇔ = 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
뿠

Nguyễn Phú Khánh 
 25 
Bài tập 20: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: ( )A 0;0;0 , ( )B a;0;0 , ( )C a;a;0 , 
( )S 0;0;a 
1. Chứng minh rằng HK SC.⊥ 
( ) ( )SB a;0;a a 1;0; 1= − = − −



( ) ( )SC a; a;a a 1;1; 1= − − = − −



Phương trình tham số của 
( )
x a t
SB : y 0 t .
z t
 = +

=
 =
∈
−
 
( )SB H a 0; tH t;∈ ⇒ + − 
AH SB AH.SB 0⊥ ⇔ =



 


a a a
t H ;0;
2 2 2
 
⇒ = − ⇒  
 
Phương trình tham số của 
( )
x t
SC : y t t .
z a t
 =

=
 = −
∈ 
z
x
y
I C
A
S
B
R
H
( )K t; t;a t⇒ − và a a 2aAH.SC 0 K ; ;
3 3 3
 
= ⇒  
 



 


( )a a a aHK ; ; 1; 2; 1 HK.SC 0
6 3 6 6
 
⇒ = − = − − − ⇒ = 
 



 


 


Chú ý: SAB∆ vuông cân tại A H⇒ là trung điểm của a aSB H ;0;
2 2
 
⇒  
 
2. Chứng minh rằng B là trung điểm của CI. 
Phương trình tham số của ( )
a
x t
2
HK : y 2t t .
a
z t
2

= +

= −

 =

∈
−
 
Ta có: ( ) ( )
1 C B
1 C B
1 C B
x x 2a 2x
a a
I HK ABC t 0 t I a; a; 0 y y 0 2y
2 2
z z 0 2z
 + = =

= ∩ ⇒ − = ⇔ = ⇒ − ⇒ + = =
 + = =
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
썠

Nguyễn Phú Khánh 
 26 
Vậy B là trung điểm của CI. 
3. Tính sin góc ϕ giữa SB và ( )AHK . 
Ta có: 
( )
( ) ( )
SC AK gt
SC AHK
SC HK cmt
 ⊥
⇒ ⊥
⊥
( ) ( ) ( ) ( )( )AHK SB AHK 2n 1;1; 1 sin cos SB,SC
6
cos n ,n⇒ = − ⇒ ϕ = = =

 

 

 
 

4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC. 
Gọi ( )0 0 0J x ; y ; z suy ra phương trình mặt cầu ( )S có dạng: 
2 2 2
0 0 0x y z 2x x 2y y 2z z d 0+ + − − − + = 
( )
2 2 2d 0 a a a a 3
S Ra a a
J ; ; 4 4 4 2
2 2 2
A, B, C, S
 =

∈ ⇒ ⇒ = + + = 
 
 
Vậy J là trung điểm của SC và 
a 3
R
2
= 
Bài tập 21: Chọn hệ trục tọa độ ( ) ( ) ( ) ( )Oxyz: O 0;0;0 , M m;0;0 , N 0; n;0 , S 0;0;a , 
( )m, n 0; m n a> + = 
1. Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN 
lớn nhất. 
3
SOMN
2
1 a
V amn
a m n
26 26 4
 + 


=≤ 

= 
( ) x
3
SOMN ma
a a
V m n
24 2
⇒ = ⇔ = = 
2. Khi thể tích SOMN lớn nhất thì 
a a
M ;0; 0 , N 0; ;0
2 2
   
   
   
- ( )d O, SMN .   
( )SMN : 2x 2y z a 0+ + − = 
( )
2 2 2
a a
d O,
2
S
1
MN
32
  = =⇒
+ +
 x
z
y
O
N
M
S
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN. 
Phương trình mặt cầu ( ) 2 2 2S : x y z 2 x 2 y 2 z 0+ + − α − β − γ = 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
菠τ
Nguyễn Phú Khánh 
 27 
( )
2
2
2 2 2
2
M, N, S
2 a 0
a aa 0
4 4
a a a 6
S a 0 R
4 4 4
aa
2
 − α = α =  
∈ ⇒ −β = ⇒ β = ⇒ = = 
 
 γ = 

α + β + γ

− γ =
3. Chứng minh   OSM OSN MSN 90 .+ + = ° Đặt   OSM, OSN, MSNα = β = γ = 
( )( )
2 2 2 2 2 2
2 2
SMN
2 2
SM,SN2S m a n a m n
sin
SM.SN SM.SN m a n a
∆
 
+ + γ = = =
+ +



 



2 2 2 2
OM m OS a
sin , cos
SM SMm a m a
α = = α = =
+ +
2 2 2 2
ON n OS a
sin , cos
SN SNn a n a
β = = β = =
+ +
( )
( )( )
2
2 2 2 2
a mn
cos cos cos sin sin
m a n a
−
⇒ α +β = α β − α β =
+ +
Mặt khác: ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2m a n a m n a m n m n+ + = + + 
( ) ( )222 2 2 4 2 2 2 2a m n 2mn m n a 2a mn m n a mn = + − + = − + = −   
( )
( )( )
2
2 2 2 2
a mn
sin cos 90
m a n a
−
⇒ γ = α + β = ⇒ γ + α + β = °
+ +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com