Đề khảo sát HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Phúc Thọ (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023-2024
 TRƯỜNG THCS PHÚC THỌ MÔN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,0 điểm)
 632 472
 1) Tính giá trị biểu thức A 
 2152 1052
 2) Tính giá trị của biểu thức B x6 50x5 50x4 50x3 50x2 50x 50 tại x = 49
Bài 2 (4,0 điểm)
 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 2x2 x xy2 
 2) Tìm số tự nhiên n để n2 2n 20 là số chính phương.
Bài 3 (5,0 điểm)
 1) Cho các số thực a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
 a b c
 1 
 ab a 1 bc b 1 ca c 1
 2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a b 2024c c3 . Chứng minh rằng:
 a3 b3 c3 chia hết cho 6
 3) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn x2 xy 2022x 2023y 2024 0 
Bài 4 (6,0 điểm)
 1) Cho hình vuông ABCD trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm 
M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ.
 a) Chứng minh MNPQ hình vuông.
 b) Tìm vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất.
 2. Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua
M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt tại E, F.
Chứng minh CE = BF
Bài 5 (1,0 điểm): 
 Cho các số nguyên dương a và b thoả mãn S a2 b2 ab 3 a b 2023 chia hết 
cho 5. Tìm số dư khi chia a - b cho 5
 Họ và tên thí sinh: ................................................................................................................
 Số báo danh: .................................................Phòng............................................................. ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8
 Bài Nội dung Điểm
 632 472 63 47 63 47 
 1) A 
 2152 1052 215 105 215 105 1,0
 Bài1 16.110 1
 1,0
(4,0 đ) 110.320 20
 2) Ta có x = 49 nên x + 1 = 50 thay vào biểu thức B, ta được 0,5
 B x6 x 1 x5 x 1 x4 x 1 x3 x 1 x2 x 1 x x 1 0,5
 x6 x6 x5 x5 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x x 1 0,5
 0,5
 1
 1) x3 2x2 x xy2 x x2 2x 1 y2 0,5
 2 2 
 x x 2x 1 y 0,5
 x x 1 2 y2 
 0,5
 x x 1 y x 1 y 
 0,5
 x x y 1 x y 1 
Bài 2 2) Đặt p2 n2 2n 20 0,25
(4,0 đ)
 p2 n 1 2 19
 0,25
 p2 n 1 2 19 
 p n 1 p n 1 19 0,25
 Do p, n là các số tự nhiên nên (p - n - 1) < (p + n + 1) 0,25
 p n 1 1 0,25
 Khi đó 0,25
 p n 1 19
 Suy ra n = 8 (TM) 0,5
 a b c abc b cb
 1) 0,5
 ab a 1 bc b 1 ca c 1 abbc abc bc bc b 1 cab cb b
 1 b bc 0,5
 bc b 1 bc b 1 bc b 1
 1 b bc 0,5
 1 (đpcm)
 bc b 1
 2) Ta có a b 2024c c3
Bài 3 a b c c3 c 2022c
 0,5
(5,0 đ) a b c c c 1 c 1 2022c
 Ta có c c 1 c 1 6 ; 2022c6 nên a b c 6 
 Xét (a3 b3 c3 ) (a b c) a3 a b3 b c3 c 
 a a 1 a 1 b b 1 b 1 c c 1 c 1 0,5
 Ta có a a 1 a 1 6 ; b b 1 b 1 6 ; c c 1 c 1 6
 Nên a3 b3 c3 ) (a b c chia hết cho 6
 0,25 Mà a b c 6 (cm trên)
 Vậy a3 b3 c3 6 (đpcm)
 0,25
 3) x2 xy 2022x 2023y 2024 0
 x2 xy x 2023x 2023y 2023 1 0
 x2 xy x 2023x 2023y 2023 1
 0,5
 x x y 1 2023 x y 1 1
 x y 1 x 2023 1 0,5
 x y 1 1 x 2024
 Trường hợp 1: 
 x 2023 1 y 2024
 0,5
 x y 1 1 x 2022
 Trường hợp 2: 
 x 2023 1 y 2020
 Vậy cặp số (x, y) là (2024, 2024); (-2022, -2020) 0,5
 1) 
 0,5
 a) Chứng minh được MNPQ là hình vuông 2,0
 AM.AQ
 b) S nhỏ nhất khi và chỉ khi S lớn nhất, mà S 0,5
 MNPQ AMQ AMQ 2
 2
 AM MB AB2
 Ta có AM.AQ AM.MB 
Bài 4 4 4 0,5
(6,0 đ)
 AB2
 S lớn nhất là , đạt được khi AM = MB
 AMQ 8
 Vậy SMNPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm 0,5
 AB, BC, CD, DA.
 2)
 0,5
 Gọi AD là phân giác của góc BAC BA BD BF BA
 Ta có: AD // FM nên (1) 
 BF BM BM BD 0,25
 CE CM CE CA
 ME // AD nên (2) 
 CA CD CM CD 0,25
 BA BD BA CA
 Do AD là phân giác nên ta có: (3) 
 CA CD BD CD 0,5
 BF CE
 Từ (1), (2), (3) suy ra , mà BM = CM nên BF = CE (đpcm)
 BM CM 0,5
 Ta có S a2 b2 ab 3 a b 2023 chia hết cho 5 nên ta được:
 4a2 4b2 4ab 12 a b 4.3 4.2020 chia hết cho 5
 4a2 4b2 4ab 12 a b 12 chia hết cho 5
 0,25
 2a b 3 2 3 b 1 2 chia hết cho 5
 Đặt x = 2a + b + 3, y = b + 1 thì ta được x2 3y2 5 
 Bài 5 + Nếu y2 chia hết cho 5, khi đó x2 cũng phải chia hết cho 5. Từ đó ta có:
 (1,0 đ) 2 0,25
 2a b 3 5 2a b 3 5 2a b 3 5
 2a 2b 5 
 2 b 1 5 3 b 1 5
 b 1 5 
 Suy ra 2(a - b) 5 . Vậy số dư khi chia a - b cho 5 là 0
 + Nếu y2 chia 5 dư 1, thì x2 chia 5 phải dư 2. Vô lí
 + Nếu y2 chia 5 dư 4, thì x2 chia 5 phải dư 3. Vô lí 0,25
 Kết luận: Vậy số dư khi chia a - b cho 5 là 0 0,25
Lưu ý : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa