Đề khảo sát HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Song Mai (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 TRƯỜNG THCS SONG MAI NĂM HỌC 2023-2024
 Môn: Toán - Lớp: 8
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1. (2,0 điểm) 
 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 19x + 30 
 b) Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by và x + y + z 0; xyz 0. 
 1 1 1
 Chứng minh: = 2
 1 a 1 b 1 c
Câu 2. (1,5 điểm)
 a) Giải phương trình: 2(6x +7)2 (3x+ 4)(x + 1) – 12= 0
 b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0.
Câu 3. (3,0 điểm) 
 a) Tìm a,b sao cho f (x) ax3 bx2 10x 4 chia hết cho đa thức g(x) x2 x 2
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2019
 c) Chứng minh rằng: n3 3n 2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n .
 Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC), đường cao AH . Gọi D là điểm 
đối xứng của A qua H . Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC và AC lần 
lượt ở M và N .
 a) Chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi.
 b) Chứng minh AM vuông góc với CD
 c) Gọi I là trung điểm của MC , chứng minh rằng IN vuông góc HN
Câu 5. (0,5,0 điểm) 
 1 1 4
 Cho a, b là các số thực dương khác nhau. Chứng minh 
 a b a b
 1 1 1 1 1
 Từ đó chứng minh A 1 với A ... 
 2019 2020 2021 6054 6055
 --------------------------- Hết --------------------------- PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM
 TRƯỜNG THCS SONG MAI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC 2023-2024
 Môn: Toán - Lớp: 8
 Dưới đây chỉ là sơ lược các bước giải và thang điểm. Bài giải của học sinh cần chặt 
 chẽ, hợp logic toán học. Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng 
 thì chấm và cho điểm tối đa của bài đó. Đối với bài hình học nếu học sinh vẽ sai hình hoặc 
 không vẽ hình thì không được tính điểm.
Câu Hướng dẫn giải Điểm
 a) x3 – 19x + 30 = x3- 4x -15x - 30 0,25
 = x(x2 - 4) - (15x - 30)
 = x(x - 2)(x + 2) - 15(x - 2) 0,25
 = (x - 2)(x2 – 2x - 15)
 = (x - 2)(x2 + 3x – 5x – 15x) 0,25
 = (x - 2)(x + 3)(x - 5) 0,25
 b) Ta có x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3)
 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz 0,25
 x y z x y z
 Suy ra: 2cz = x + y – z c = 1 + c = 
 1 2z 2z
 1 2z 0,25
 =
 1 c x y z
 x y z 1 2x
 Tương tự: 1 + a = = 
 2x 1 a x y z
 x y z 1 2y 0,25
 1 + b = = 
 2y 1 b x y z
 1 1 1 2x 2y 2z 2 x y z 
 Vậy + + = + + = = 2 0,25
 1 a 1 b 1 c x y z x y z x y z x y z
 a) Ta có: 2(6x +7)2 (3x+ 4)(x + 1) – 12 = 0
 2 6x 7 2 3x 4 x 1 12
 0.25
 6x 7 2 6x 8 6x 6 72
 Đặt 6x + 7 = t, đẳng thức trên trở thành t2(t + 1)(t- 1) = 72
 t2(t2 - 1) = 72 0.25
 t4 - t2 - 72 = 0
 (t2 +8)(t2- 9) = 0
 t2 = 9 (Vì t2 + 8 dương)
 t = 3 hoặc t = -3
 2
 2
 Nếu t = 3 suy ra x = -
 3
 5
 Nếu t = -3, suy ra x= - 
 3 0.25
 2 5
 Vậy x= - hoặc x= - 
 3 3
 b) Ta có: x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0.
 ....... (x + y)(x + 2y - 1) = - 3 0.25
 Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3.
 Ta có bảng sau: 0.25 Câu Hướng dẫn giải Điểm
 x + y 1 -3 -1 3
 x + 2y -1 -3 1 3 -1
 x 4 -8 -6 6
 y -3 5 5 -3
 Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3). 0.25
 a) f (x) ax3 bx2 10x 4 ; g(x) x2 x 2
 Ta có g(x) (x 1)(x 2)
 Do f (x) chia hết cho đa thức g(x) nên f (x) q(x).g(x) với q(x) là đa thức
 f (x) (x 1)(x 2).q(x) 0, 5
 Với x 1 ta được f (1) 0 hay a b 6 0
 Với x 2 ta được f ( 2) 0 hay 8a 4b 24 0 2a b 6 0 0,25
 a b 6 a 4
 Khi đó ta có 
 2a b 6 b 2
 Vậy a 4,b 2 . 0,25
 b) 
 2 2
 A 13x y 4xy 2y 16x 2019 0, 5
 (2x y 1)2 (3x 2)2 2014 2014
 2 1
 Min A 2014 khi x , y 
 3 3 0,5
 3
 c) Ta có: n3 3n2 n 3 n3 n 3n2 3 
 n n2 1 3 n2 1 
 n n 1 n 1 3 n 1 n 1 
 n 1 n 1 n 3 
 0,5
 Vì n lẻ nên.푛 = 2 + 1 ( ∈ 푍)
 Do đó n 1 n 1 n 3 2k 1 1 2k 1 1 2k 1 3 
 2k 2k 2 2k 2 
 8k k 1 k 1 0,25
 Vì k k 1 k 1 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k k 1 k 1 
 chia hết cho 2 và 3.
 Mà ƯCLN 2,3 1 nên k k 1 k 1 chia hết cho 6 , suy ra 
 8k k 1 k 1 chia hết cho 48.
 Vậy n3 3n 2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n . 0,25 Câu Hướng dẫn giải Điểm
 4 a) Chứng minh được ABH DMH 0,5
 AB MD mà AB / /MD 0, 5
 Nên ABDM là hình bình hành lại có 2 đường chéo vuông góc
 Suy ra ABDM là hình thoi. 0, 5
 b) Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song chứng minh được 0,25
 DN  AC 0,25
 Chứng minh được M là trực tâm của ADC 0,25
 Suy ra AM vuông góc với CD
 c) Sử dụng kiến thức trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh 
 huyền bằng nửa cạnh huyền. 0,25
 Suy ra được I·NC I·CN M· DH H· NM
 0,25
 Mà M· NI I·NC 90
 H· NM M· NI 90 IN  HN 025
 1 1 4
 *) Cho a, b là các số thực dương khác nhau. Chứng minh 
 a b a b 0,25
 a,b 0,a b (a b)2 0 (a b)2 4ab
 a b 4 1 1 4
 ab ab a b a b
 1 1 1 1 1
 *) Cho A ... Chứng minh rằng A 1
 2019 2020 2021 6054 6055
 5 Từ đó suy ra
 1 1 1 1 1 1 1
 A ( ) ( ) ... ( )
 2019 2020 6055 2021 6054 4037 4038
 1 4 4 4
 A ( ... )
 2019 2020 6055 2021 6054 4037 4038
 1 1 1 1
 A ... ( có 2019 phân số)
 2019 2019 2019 2019 0,25
 A 1