Đề kiểm tra HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Huyện Ninh Giang (Có đáp án)

 UBND HUYỆN NINH GIANG ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 – 2024
 MÔN: TOÁN – LỚP 8
 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề bài gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm):
 x2 x x 1 1 2 x2 
 1) Rút gọn biểu thức P 2 : 2 ( x 0; x 1)
 x 2x 1 x x 1 x x 
 6x 4y
 2) Cho 9x2 4y2 20xy; 3x 2y 0 . Chứng minh 1
 3x 2y
Câu 2 (2,0 điểm):
 1) Giải phương trình: x 7 x 5 x 4 x 2 72
 2) Cho đa thức f (x) (x 2)(x2 x 1) ax2 bx c . Biết f(x) chia x – 2 dư 
11, chia x2 – x + 1 dư 3x + 2. Tìm a, b, c.
Câu 3 (2,0 điểm):
 1) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn điều kiện: x2 2y2 2xy y 2.
 2) Tìm số nguyên dương n sao cho A n 3 4n2 14n 7 là số chính 
phương.
Câu 4 (3,0 điểm): 
 1) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF, cắt nhau tại 
H ( D BC, E AC;F AB ). 
 a) Chứng minh AF.AB = AE.AC.
 b) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại M, cắt CF tại N. Chứng 
minh F· EH D· EH và DM = DN.
 2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao BM, CN cắt nhau tại I 
 FM IM 2
(M AC; N AB). Gọi E là trung điểm BC, IE cắt MN tại F. Chứng minh 
 FN IN 2
 b2 1
Câu 5 (1,0 điểm): Cho hai số a, b 0 thỏa mãn 2a2 4 . Tìm giá trị lớn nhất 
 4 a2
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q ab 2024 .
 –––––––– Hết –––––––– HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Nội dung Điểm
 x2 x x 1 1 2 x2 
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 x(x 1) x2 1 x 2 x2 0,25
 P 2 : 
 (x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) 
 x(x 1) x 1
 P 2 : 0,25
 (x 1) x(x 1)
 1
 x(x 1) x(x 1)
 P 2 . 0,25
 (x 1) x 1
 x2
 P 
Câu x 1
1 x2
 Vậy P ( với x 0; x 1; x 1) 0,25
 x 1
 * Ta có: 9x2 4y2 20xy 9x2 18xy 4y2 2xy 0,25
 9x x 2y 2y x 2y x 2y 9x 2y 0,25
 * Áp dụng, ta có: 9x2 4y2 20xy 0 x 2y 9x 2y 0 
 (1)
 2 0,25
 Mà: 3x 2y 0 9x 2y 9x 2y 0 (2)
 Từ (1) và (2) x 2y 0 x 2y
 12y 4y 8y
 * Khi x 2y A 1 0,25
 6y 2y 8y
 Phương trình tương đương với 
 x 7 x 2 x 5 x 4 72 x2 9x 14 x2 9x 20 72 0 0,25
 Đặt x2 9x 14 t , khi đó phương trình trở thành:
 0,25
 t t 6 72 0 t 12 t 6 0
 1 2
Câu 2 9 23
 Với t 12 x 9x 14 12 x 0 0,25
2 2 4
 Với t 6 x2 9x 14 6 x 1 x 8 0
 Tìm được 2 nghiệm là 1, 8 và kết luận. 0,25
 f (x) (x 2).h(x) 11 Cho x = 2 f (2) 4a 2b c 11(1)
 2 . 0,25 f (x) (x 2)(x2 x 1) a(x2 x 1) (a b)x c a
 Mà (x 2 a)(x2 x 1) (a b)x c a
  0,25
 du 3x 2
 c a 2(2) 2
 .Tu(1)(2)(3) (a;b;c) (1;2;3) du : x 2x 3
 a b 3(3) 0,25
 * Ta có: x2 2y2 2xy y 2.
 2 2 0,25
 4x2 8y2 8xy 4y 8 0 2x 2y 9 2y 1 
 2 2
 * Vì 2x 2y 0 9 2y 1 0 2 y 1, mà y là số 
 nguyên. 0,25
 y 2; 1;0;1
 2
 1 * Với y 2 2x 4 0 x 2
 2 0,25
 * Với y 1 2x 2 8 x 1 2 (loại do x nguyên)
 2
 * Với y 0 2x 8 x 2 (loại do x nguyên)
 2
 * Với y 1 2x 2 0 x 1 0,25
 Vậy cặp số x; y nguyên thỏa mãn phương trình là: 2; 2 , 1;1 
Câu 
 Đặt d n 3,4n2 14n 7 (d nguyên dương)
3 
 n 3d (n 3)(4n 2)d
 2 2
 4n 14n 7d 4n 14n 7d 0,25
 4n2 14n 6d
 d 1
 2
 4n 14n 7d
 Suy ra 4n2 14n 7, n 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
 Mà A là số chính phương => 4n2 14n 7 , n 3 là số chính phương. 0,25
 2 2
 n ¥ * 2n 3 4n2 14n 7 2n 4 
  4n2 14n 7 2n 3 2 n 1 0,25
 Thử lại với n = 1 thì A 100 (TM )
 Không thử lại mà kết luận luôn trừ 0,25đ 0,25
 K
Câu 
4 0,25
 a. Chứng minh đúng AEB : AFC(g.g)
 0,5
1.a
 AE AF
 AF.AB AE.AC 0,25
 AB AC
 b. Chứng minh được AEF : ABC(c.g.c)
 ·AEF ·ABC (1)
 CE CB 0,25
 Chứng minh được CEB : CDA(g.g) 
 CD CA
 Áp dụng chứng minh CDE : CAB(c.g.c) C· ED ·ABC (2)
 Từ (1) và (2) ·AEF C· ED
 ·AEF F· EH 90
 Mà 0,25
 C· ED D· EH 90
 F· EH D· EH
 Gọi K là giao điểm AD và EF
 EKD có F· EH D· EH suy ra EH là phân giác góc KED
1.b HK EK
 HD ED
 Mà EH  EA suy ra EA là đường phân giác ngoài EKD 0,25
 AK EK
 AD ED
 HK AK EK 
 (3)
 HD AD ED 
 FK AK
 AMD có FK PMD (4)
 MD AD
 FK HK
 HDN có FK PDN (5) 0,25
 DN HD
 FK FK
 Từ (3), (4), (5) => DM DN
 MD DN Qua B, C kẻ đường thẳng song song với MN cắt IE lần lượt tại P, 
 Q
 Chứng minh BPE CQE BP CQ 0,25
 IM IC
 Chứng minh NIB : MIC(g.g) 
 IN IB
 MF IM
 MF PBP (1)
 BP IB
 NF IN
2 NF PQC (2) 0,5
 QC IC
 MF QC IM IC
 Từ (1) và (2) chia vế với vế ta được . .
 BP NF IB IN
 MF IM IC
 . (vì BP = QC)
 NF IN IB
 2
 IM IC MF IM 0,25
 Mà 
 IN IB NF IN 
 Ta có:
 1 b2
 4 a2 2 a2 ab ab 2
 a2 4
 0,25
 1 b
 (a )2 (a )2 ab 2
 a 2
 ab 2 ab 2 Q 2026
 1
 a 0
 a a 1;b 2
 Dấu “=” xảy ra 
 b a 1;b 2 0,25
 a 0 
 2
 Ta lại có:
 1 b
 4 (a )2 (a )2 ab 2
 a 2
 ab 2 ab 2
 Q 2022 0,25
 1
 a 0
 a a 1;b 2
 Dấu “=”xảy ra 
 b a 1;b 2
 a 0 
 2
 a 1;b 2
 Vậy GTLN của Q là 2026 khi 
 a 1;b 2
 a 1;b 2
 GTNN của Q là 2022 khi 0,25
 a 1;b 2
 Xét dấu “=” xảy ra thiếu trừ 0,25đ * Chú ý: Học sinh làm bằng cách khác, nếu đúng vẫn chấm điểm tối đa.