Đề tài Ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình chứa tham số

ì phần lớn các bài toán dạng trên thường sử dụng định lý đảo để giải do đó học sinh rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào. 
Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản. Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Ứng dụng hàm số để giải phương trình, hệ phương trình chứa tham số”
I. 2. Phạm vi và đối tượng của đề tài :
 	Đối tượng nghiên cứu: Các dạng toán về phương trình, hệ phương trình có chứa tham số.
 	Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình 
Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 12 luyện thi đại học và các học sinh thi học sinh giỏi 
I. 3. Mục đích nghiên cứu, những đóng góp của đề tài:
Góp phần giải quyết một lớp các dạng toán về phương trình, hệ phương trình có chứa tham số. Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó.
 Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ.
	Đề tài nhằm nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp . Ngoài ra còn tham gia nghiên cứu giải quyết các bài toán, cách nhanh chóng, hiệu quả. 
Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, hệ phương trình có chứa tham số.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
II.1 Cơ sở lý luận của vấn đề:
Phương pháp ứng dụng hàm số để giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, hệ phương trình có nghiệm được dựa trên các mệnh đề cơ bản sau:
Cho hàm số liên tục trên tập D
	* Nếu hàm số đơn điệu trên D.
 Thì: 
* Nếu hai hàm số có đồ thị lần lượt là .
 Thì số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của và 
	* Phương trình f(x) = m có nghiệm 
	Như vậy chỉ cần bài toán có thể đưa được về dạng hoặc thì ta có thể áp dụng các mệnh đề trên để suy ra kết quả
II.2 Thực trạng của vấn đề:
Trước hết xin nêu ra tất cả các bài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số trong các kì thi đại học từ năm 2002 đến nay
Bài 1. (Đại học khối A 2002)
Cho phương trình: 
Giải phương trình khi m = 2
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
Bài 2. (Đại học khối B 2004)
Xác định m để phương trình sau có nghiệm
Bài 3. (Đại học khối D 2004)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Bài 4. (Đại học khối B 2006)
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
Bài 5. (Đại học khối A 2007)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 
Bài 6. (Đại học khối B 2007)
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
Bài 7. (Đại học khối D 2007)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Bài 8. (Đại học khối A 2008)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
Bài 9. (Đại học khối D 2011)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Đây đều là các bài toán mà không nhiều học sinh có thể giải trọn vẹn được, hầu hết các em không giải được hoặc cách giải tuy đúng nhưng còn nhiều sai sót dẫn đến kết quả không đúng. Qua nghiên cứu bằng phương pháp sử dụng hàm số để giải bản thân tôi nhận thấy một số thuận lợi và khó khăn khi sử dụng phương pháp trên như sau
* Thuận lợi: 
Hầu hết các bài toán trên đều đưa được về dạng hoặc sau đó ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết.
* Khó khăn: 
- Nếu phải thông qua hàm g(m) thì khi đó việc xác định m thỏa mãn yêu cầu của đề bài sẽ gặp đôi chút khó khăn
- Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết. Đây cũng là vấn đề mà học sinh đôi khi còn lúng túng
II.3 Các phương pháp tiến hành để giải quyết vấn đề:
II.3.1 Phương pháp chung:
Để giải bài toán về phương trình, hệ phương trình liên quan đến tham số m ta thực hiện các bước như sau:
	* Tìm tập xác định D của hàm số f(x)
* Biến đổi phương trình, hệ phương trình về dạng hoặc .
	* Tính 
	* Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
	* Xác định .
	* Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán.
Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau:
	* Đặt ẩn số phụ .
	* Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t.
	* Đưa phương trình ẩn x về phương trình t.Ta được hoặc 
	* Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
	* Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán
II.3.2 Giải các bài toán ở đã nêu ở trên:
Bài 1. Cho phương trình: (1)
1.Giải phương trình khi m = 2
2.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
Lời giải
2. Điều kiện x > 0
Đặt 
Khi đó phương trình trở thành (1.1)
Ta có: 
Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạnkhi và chỉ khi phương trình (1.1) có nghiệm thuộc đoạn . 
Đặt 
Bảng biến thiên
 t 1 2 	
 f’(t) + 
 2
 f(t) 
 0 
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cần tìm là 
Bài 2. Xác định m để phương trình sau có nghiệm
 (2)
Lời giải
ĐK: đặt ta có t liên tục trên 
Bảng biến thiên
 x -1	0 1 
 t/ - 	0 +
 t 	 
 0 
Phương trình (2) trở thành: (2.1)
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi Phương trình (2.1) có nghiệm . Xét hàm số trên 
Ta có 
Bảng biến thiên
 t 0	 
 f/(t) 	-
 1 	 
 f(t) 
 -1
Vậy giá trị của m cần tìm là: 
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Lời giải
ĐK: . Đặt Ta có và khi đó hệ trở thành
Vì nên từ phương trình (1) suy ra: từ đó ta thấy hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3.2) có nghiệm 
Xét hàm số trên 
Ta có . Bảng biến thiên
 u 0	 1 
 f/(u) - 	0 +
 f(u) 
 0 	0
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 4. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 
Lời giải
Ta có: 
Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu thì 
Phương trình (4.2) là phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị 
. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt cắt trên .Ta có: 
Bảng biến thiên:
 x 0 + 
 f’(x) + +
 + +
 f(x) 
 -
Từ bảng biến thiên ta có: 
Bài 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 
 (5)
Lời giải
Điều kiện :
PT (5) (5.1)
Đặt , Do 
Phương trình (5.1) trở thành : (5.2)
Xét hàm số , 
Ta có : 
Bảng biến thiên :
 t 0 1 
 + 0 
 0 -1
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (5.2) có nghiệm 
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt
 (6)
Lời giải
Do nên 
(6) 
Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (6.1) có một nghiệm trong 
Biến đổi (6.1).
Xét hàm số với .
Ta có và 
Bảng biến thiên:
 x 2 
 +
 0 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (6.1) có đúng một nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt
Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Lời giải
Đăt 
Khi đó hệ trở thành 
Vì nên từ (7.1) ta có hoặc và hệ có nghiệm khi và chỉ khi (7.2) có nghiệm hoặc 
Xét hàm số với , hoặc 
Ta có . Bảng biến thiên
 u -	 -2 	 2	 3 	 7	 +
 f/(u) - 	 - 0 +	+
 f(u) + 	 2 2 	+ 
 22 22 	 
Vậy giá trị cần tìm của m là: hoặc 
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt
Lời giải
Điều kiện :
Đặt 
Ta có 
Rõ ràng: 
Bảng biến thiên :
 x 0 2 6 
 + 0 
Vậy giá trị cần tìm của m là: 
Bài 9. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Lời giải
Hệ phương trình 
Đặt 
Hệ đã cho trở thành 
Hệ đã cho có nghiệm phương trình (9.1) có nghiệm thỏa mãn 
Với , ta có : (2) 
Xét hàm số , với 
Ta có : 
Bảng biến thiên :
 u 
 0 
Từ bảng biến thiên ta có : .
II.3.3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm : 
Qua thực tế giảng dạy phương pháp dùng hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình đã được một số học sinh tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết một lớp các bài toán phương trình, hệ phương trình chứa tham số trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học. 
III. PHẦN KẾT LUẬN
III.1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm :
	Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào kho các công cụ giải toán phương trình, hệ phương trình chứa tham số của học sinh . Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả.
III.2. Khả năng ứng dụng, triển khai : 
	Có thể áp dụng cho các học sinh giỏi khối 12 luyện thi đại học, các lớp 11, 12 chuyên toán thi học sinh giỏi các cấp.
III.3. Những bài học kinh nghiệm :
	- Nếu học sinh biết được một phương pháp mới , có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơn trong giải quyết được các bài toán dạng này và các dạng tương tự.
	- Tất nhiên mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, phương pháp này có lời giải có thể dài hơn các phương pháp khác nhưng bù lại là nó có đường lối rõ ràng, dễ thấy cách tiếp cận , cách giải quyết bài toán hơn một số phương pháp khác. 
III.4. Những kiến nghị và đề xuất : 
Nên giới thiệu cho học sinh giỏi phương pháp này.
Giáo viên có thể vận dụng ôn thi đại học cho học sinh
	Trên đây là phần tóm tắt bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm , mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo :
Các đề thi đại học từ năm 2002- 2012