Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2011 - 2012 môn Toán - Lớp 9

UBND HUYỆN BẢO THẮNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2011-2012
Môn Toán - Lớp 9
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Câu 1 ( 2,5 điểm): Cho biểu thức: P = 
a. Rút gọn P 
b. Tính giá trị của P khi x = 
Câu 2 ( 1,5 điểm): 
Giải phương trình: 
Câu 3 ( 2,0 điểm): 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
Câu 4 ( 2,5 điểm) : 
 	Xác định giá trị nguyên của để cho phương trình sau đây có hai nghiệm số trái dấu nhau: . 
Câu 5 ( 2,5 điểm ) : 
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9.
Câu 6 ( 2,0 điểm ) Cho . Chứng minh 
Câu 7 (4,0 điểm) :
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), M và N là trung điểm của hai đường chéo BD và AC. Chứng minh:
a. Các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân.
b. BM2 = AM2 + MN.AB
Câu 8 (3,0 điểm) :
Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC). Trung tuyến AM. Gọi số đo của góc ACB là . Số đo của góc AMB bằng . 
Chứng minh rằng: ( sin + cos)2 = 1 + sin
----------------------------------------------------------
Họ và tên : ................................................
Số BD : ....................................................
Kú thi chän häc sinh giái líp 9 cÊp huyÖn – N¨m häc 2011 -2012
H­íng dÉn chÊm M«n TO¸N
 (Thêi gian lµm bµi 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Câu
Nội dung
Biểu điểm
1
2,5đ
a. P = 
ĐKXĐ: x > 0 ,
P = 
= 
= :
=.
= 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
b. Với x = ĐKXĐ
x = 4 - 2 = ( 
Nên P = = = (
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1,5đ
 ( ĐKXĐ: x5)
x +7 = x – 5+ 4 + 4
4= 8
= 2
x – 5 = 4
x = 9 ( ĐKXĐ)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
2đ
A = ĐKXĐ : 
A2 = x -2 + 6- x +2
= 4 + 2
Vì 2 Nên A2 hay A 
- Do đó minA = 2 x = 2 hoặc x = 6 ( tm ĐK)
0,5
0,5
0,5
0,5
4
2,5đ
Để phương trình có hai nghiệm số trái dấu nhau, điều kiện là:
 ( và ) hoặc ( và )
 ( và ) hoặc ( và )
 Vậy: 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
5
2,5đ
Giả sử tồn tại một số tự nhiên n để chia hết cho 9
Đặt A = . A 9 nên 4A 9 (1)
Ta có: 
 (2)
Từ (1) và ( 2) mâu thuẫn
 Vậy với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
6
2đ
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm, ta có: 
 ( 1) 
Tương tự: ( 2 )
Từ (1) và ( 2) suy ra: 
0,75
0.75
0,5
7
4đ
a. Chứng minh Các tứ giác AMNB và DMNC là những hình thang cân.
Gọi P là trung điểm của AD. 
Và N là trung điểm của AC
Nên PN là đường TB của ADC
PN // DC // AB (1)
Tương tự ta có PM là đường TB của ADB
PM // AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra P, M, N thẳng hàng, MN // AB và CD
Tứ giác ABCD là hình thang cân(gt)
Xét tứ giác AMNB có MN // AB và AN = BM.
Vậy tứ giác AMNB là hình thang cân.
XétADC và BCD có CD chung, AC = BD, AD = BC
Suy ra ADC = BCD(c.c.c) 
Tứ giác MNCD có MN // CD và thì tứ giác MNCD là hình thang cân.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
b.Chứng minh BM2 = AM2 + MN.AB
Kẻ MH AB , NK AB
Xét HAM và KBN có 
, MA = NB(t/c hình thang cân)
Vậy HAM = KBN(cạnh huyền-góc nhọn) AH = KB
HB – HA =HB – KB = HK = MN
(MNHK là hình chữ nhật)
 Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông HAM và HBM ta có:
BM2 = BH2 + HM2 = BH2 + AM2 – AH2 = AM2 + (BH2 – AH2
 = AM2 + (BH – AH)(BH + AH) = AM2 + MN.AB
0,25
0,25
0,25
0,75
0,5
8
3đ
Từ A vẽ AH BC	
Vì AB < AC nên HB < HC.
Do đó H nằm giữa B và M
Nên sin = = 
( Vì AM = BC Theo t/c trung tuyến trong tam giác vuông)
Mặt khác: (sin = sin2+ cos2+ 2sin.cos
= 1 + 2sin.cos
Mà 2sincos = 2 = 2
Do đó sin = 2sincos
Vì vậy (sin = 1+ sin.
( Nếu học sinh sử dụng công thức nhân đôi trong lượng giác thì phải chứng minh được nó)
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5