Đề thi HSG cấp Huyện Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Sơn Động (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC: 2023 – 2024
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Lớp 8 
 (Đề có 03 trang) Ngày thi: 29/01/2024
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)
 5 y
Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức A là 
 x x2 4
 A. x 0. B. x 2. C. x 0; x 2. D. x 0; x 1.
 3x 1 a b a
Câu 2: Cho a,b là các số thực sao cho . Giá trị biểu thức là
 x 1 x 2 x 1 x 2 b
 2 7 14 14
 A. . B. . C. . D. .
 7 2 9 9
Câu 3: Gọi S là tổng các giá trị x thoả mãn 2x3 8x 0 . Giá trị của S là
 A. S 4 . B. S 2 . C. 0 . D. 2 .
Câu 4: Cho x y 1. Giá trị biểu thức P 2(x3 y3 ) 3(x2 y2 ) là
 A. 1. B. 1. C. 2. D. 2.
Câu 5: Đa thức A x5 y4 2x3 y2 x5 y4 2x2 y3 3xy 1 có bậc là
 A. 9. B. 6. C. 5. D. 2.
Câu 6: Thống kê điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của một nhóm 100 học sinh lớp 8 được chọn ngẫu nhiên 
tại ba lớp 8 của trường THCS X, thu được kết quả như bảng sau:
 Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Số học 
 7 9 11 11 12 12 13 9 8 8
 sinh
Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 8 của trường X. Kết quả ước lượng của biến cố “học sinh có điểm là một số 
nguyên tố” là
 20 9 11 10
 A. . B. . C. . D. .
 9 20 20 11
Câu 7: Gọi a là số dư của phép chia đa thức 2023x2024 2x 1 cho x 1. Giá trị biểu thức 2a 1 là
 A. 4039. B. 4040. C. 4055. D. 4055.
Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q (x 3)2 (x 2)2 là
 3 5 1
 A. 0. B. . C. . D. .
 2 2 2
Câu 9: Cho ABC có BC 10cm. Gọi E, F, M , N lần lượt là trung điểm AB, AC, AE, AF. Độ dài đoạn thẳng 
MN là
 A. 5cm. B. 10cm. C. 7,5cm. D. 2,5cm.
Câu 10: Cho ABC vuông tại A có AB 6cm; AC 8cm. Đường phân giác AD cắt BC tại D . Độ dài cạnh 
BD là
 30 40 5 4
 A. cm. B. cm. C. cm. D. cm.
 7 7 7 7 Câu 11: Chóp inox đặt trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) có dạng hình chóp tam đều với diện tích đáy khoảng 
1560cm2 và chiều cao khoảng 90cm . Tính thể tích của chóp inox trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam).
 A. 4680cm3 . B. 140400cm3 . C. 46800cm3 . D. 48600cm3 .
Câu 12: Kết quả phân tích đa thức (x y)2 x y thành nhân tử là
 A. (x y)(x y 1) . B. (x y)(x y 1) . C. (x y)(x y 1) . D. (x y)(x y 1) . 
Câu 13: Giá trị của m để (x 1)(x2 mx 2) x3 4x2 3x 2 là
 A. 5. B. 1. C. 5. D. 1.
 1
Câu 14: Gọi (x ; y ) là nghiệm của phương trình 2x2 y2 2xy 4x 4 0. Biểu thức A x2 5y có giá 
 0 0 2 0 0
trị bằng
 A. 12. B. 8. C. 8. D. 12.
Câu 15: Trong các dữ liệu sau dữ liệu là dữ liệu liên tục?
A. Dữ liệu số bàn thắng ghi được của đội tuyển Việt Nam trong các trận đấu tại Seagame 31.
B. Dữ liệu về tên các bạn học sinh lớp 8A.
C. Dữ liệu về số thành viên trong mỗi gia đình của các bạn học sinh lớp 8A.
D. Dữ liệu chiều cao của các bạn học sinh lớp 8A.
Câu 16: Cho ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB , d cắt BC tại điểm M. 
Khẳng định nào sau đây đúng?
 1 1 2 3
 A. BM BC. B. BM BC. C. BM BC. D. BM BC.
 2 3 3 2
Câu 17: Cho ABC vuông tại A , đường cao AH. Biết AB 12cm, BC 15cm. Độ dài đường cao AH là
 A. 9cm B. 4,8cm. C. 7,2cm. D. 9,6cm.
Câu 18: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có µA Dµ 70 . Số đo µA và Dµ lần lượt bằng
 A. 1250 ;550. B. 550 ;1250. C. 1150 ;650. D. 650 ;1150.
 x 3
Câu 19: Số giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị là một số nguyên.
 x2 2
 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
 1
Câu 20: Cho đa thức f (x) thoả mãn f (x) 3 f ( ) 2x2 x 1. Khi đó giá trị f (2) bằng
 x
 8 8 9 9
 A. . B. . C. . D. .
 9 9 8 8 II. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm) 
Bài 1: (5,0 điểm)
 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : 
 a) x2 y2 6x 9 .
 b) x3 6x2 11x 6 .
 2) Tìm a,b sao f (x) ax3 bx2 6x 8 chia hết cho đa thức g(x) 2x2 x 3 .
 3 3 3 a b c 
 3) Cho a b c 3abc. Tính giá trị biểu thức: P 1 1 1 .
 b c a 
Bài 2: (4,0 điểm) 
 x 1 2x 
 1) Rút gọn biểu thức: A 1 2 : 3 2 với x 1.
 x 1 x 1 x x x 1 
 2) Cho A n4 4. Tìm n để A có giá trị là một số nguyên tố.
 3) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thoả mãn y2 x x 1 x 7 x 8 .
Bài 3: (4,0 điểm) 
 Cho ABC vuông tại A(AB AC). Đường trung tuyến AO, trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho 
OD OA. Từ B kẻ BH vuông góc với AD tại H. Từ C kẻ CK vuông góc với AD tại K. Tia BH cắt CD 
tại M , tia CK cắt AB tại N.
 a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
 b) Chứng minh ba điểm M ,O, N thẳng hàng.
 c) Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE AD. Chứng D· CE 450.
 1 1 1 
Bài 4: (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P a b c .
 a b c 
 ----------------Hết----------------
 Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:............................
Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................
Giám thị 2 (Họ tên và ký).............................................................................................................. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
 SƠN ĐỘNG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2023-2024
 HDC MÔN THI: TOÁN – LỚP 8
 Ngày thi: 29/1/2024
 (Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi đáp án đúng được 0,3điểm)
 Câu Đáp án Câu Đáp án
 1 C 11 C
 2 A 12 D
 3 C 13 A
 4 B 14 B
 5 C 15 D
 6 B 16 B
 7 A 17 C
 8 D 18 A
 9 D 19 B
 10 A 20 D
II. PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm)
 Hướng dẫn giải Điểm
 Câu 1 ( 5,0 điểm)
 1) Phân tích các đa thức thành nhân tử : 
 c) x2 y2 6x 9 .
 1.a) 
 d) x(x 2)(x 3)(x 5) 7
 (1 điểm)
 a) x2 y2 6x 9
 (x2 6x 9) y2 0,25
 (x 3)2 y2 0,25
 (x 3 y)(x 3 y) 0,5
 1.b) b) x3 6x2 11x 6
 ( 1 điểm) 3 2 2
 x x 5x 5x 6x 6 0,25
 x2 (x 1) 5x(x 1) 6(x 1) 0,25
 (x 1)(x2 5x 6) 0,25 (x 1)(x 2)(x 3) 0,25
 Tìm a,b sao f (x) ax3 bx2 6x 8 chia hết cho đa thức 
 g(x) 2x2 x 3
 Ta có: 2x2 x 3 (x 1)(2x 3)
 Vì f (x) ax3 bx2 6x 8 chia hết cho đa thức g(x) 2x2 x 3 0,5
 Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f (x) g(x).q(x)
 3 2
2) (1,5 điểm) ax bx 6x 8 (x 1)(2x 3).q(x) 0,25
 Với x 1 a b 2 (1)
 3 27 9
 Với x a b 17 0 (2)
 2 8 4 0,5
 20 38
 Thay (1) vào (2), ta có: a ;b .
 9 9
 KL: . 0,25
 Cho a3 b3 c3 3abc. Tính giá trị biểu thức: 
 a b c 
 P 1 1 1 
 b c a 
 Từ giả thiết ta có: 
 a3 b3 c3 3abc 
 a3 b3 c3 3abc 0 0,25
 a b 3 3a2b 3ab2 c3 3abc 0 
 a b 3 c3 3ab a b c 0
 a b c a b 2 a b c c2 3ab 0
3. ( 1,5 điểm) 
 2 2 2
 a b c a b c ab bc ca 0
 0,5
 a b c a b 2 b c 2 c a 2 0
 a b c 0
 a b c
 Nếu a b c 0 thì:
 a b c b a c b a c c a b 0,25
 P 1 1 1 . . . . 1
 b c a b c a b c a a b c 
 Nếu a b c thì : P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 0,25
 b c a 
 KL: . 0,25
 Câu 2 ( 4 điểm)
 x 1 2x 
 Rút gọn biểu thức: với 
 A 1 2 : 3 2 x 1.
 x 1 x 1 x x x 1 
 2
 x x 1 1 2x 0,25
 A 2 : 2 
 x 1 x 1 (x 1)(x 1) 
 2 2
 x x 1 x 2x 1 0,25
 A 2 : 2
1.a ( 1,25 điểm) x 1 (x 1)(x 1)
 x2 x 1 (x2 1)(x 1)
 A . 0,25
 x2 1 (x 1)2
 x2 x 1
 A 0,25
 x 1
 x2 x 1
 Vậy A với x 1. 0,25
 x 1
 Cho A n4 4. Tìm n để A có giá trị là một số nguyên tố. 0,5
 Ta có
 A n4 4
 A n4 4n2 4 4n2 0,25
 A (n2 2)2 (2n)2
 A (n2 2n)(n2 2 2n).
 Để A có giá trị là một số nguyên tố thì:
 0,25
 n2 2n 2 1 hoặc n2 2n 2 1.
1.b ( 1,25 điểm) TH1: n2 2n 2 1
 (n 1)2 0
 0,25
 n 1.
 Khi đó A=5 (thoả mãn) 
 TH2: n2 2n 2 1
 (n 1)2 0
 0,25
 n 1.
 Khi đó A=5 (thoả mãn)
 KL: . 0,25 Tìm x; y nguyên dương : y2 x x 1 x 7 x 8 
 Đưa phương trình thành :
 y2 x2 8x x2 8x 7 
 y2 z2 7z
 0,5
 4y2 2z 7 2 49
 => 49 2z 2y 7 2z 2y 7 
 Ta có : 49 1.49 49.1 7.7 ( 1).( 49) ( 49).( 1) ( 7).( 7) 0,5
 Vì x, y có giá trị là một số nguyên dương. 
3. ( 1,5 điểm) 2z 2y 7 0 2z 2y 7 0
 (Ta có các trường hợp sau :
 2z 2y 7 1 49 7
 2z 2y 7 49 1 7
 z 9 9 0
 y 12 12 (Loại) 0 (Loại) 0,5
 x 1 hoặc 9
 Vì x, y có giá trị là một số nguyên dương nên x; y 1;12 
 Vậy x; y 1;12 
 Câu 3 (4 điểm)
 Ta có: O là trung điểm BC và AD (GT)
 3.a) Suy ra: Tứ giác ABDC có hai đường chéo BC và AD cắt nhau tạo điêm O 
 0,5
 là trung điểm mỗi đường.
 (1 điểm)
 Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành.
 Mà B· AC 900 (Vì ABC vuông tại A ) 0,25
 Vậy tứ giác ABDC là hình chữ nhật. 0,25
 Xét ACK vuông tại K và DBH vuông tại H có:
 0,5
 3.b) AC BD; K· AC H· DB (Vì ABDC là hình chữ nhật)
 (1,5 điểm)
 Suy ra ACK DBH (cạnh huyền - góc nhọn)
 CK BH. Ta có: BH / /CK (cùng vuông góc với AD ) và BH CK (cmt)
 0,5
 Do đó: tứ giác BHCK là hình bình hành, suy ra BK / /CH.
 Ta có BM / /CN; BN / /CM , do đó tứ giác BMCN là hình bình hành
 0,5
 Mà O là trung điểm của BC , suy ra Ba điểm M ,O, N thẳng hàng
 c. Vì ABDC là hình chữ nhật nên ta có AD BC BE,
 suy ra BEC cân tại B, nên B· EC B· CE. 0,5
 Lại có BM / /CN B· EC N· CE (so le trong) B· CE N· CE (1).
 Vì ABDC là hình chữ nhật nên C· BD C· AD
 0,5
 3.c) Suy ra ·ACN D· CB (cùng phụ với C· AD,C· BD ). (2)
(1,5 điểm)
 Từ (1) và (2) ta được C· AN N· CE D· CB B· CE .
 suy ra ·ACE D· CE .
 0,5
 Nên CE là tia phân giác của góc vuông D· CA 450 .
 Vậy D· CE 450.
 Câu 4 (1 điểm)
 Cho a,b,c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 1 1 1 
 P a b c .
 a b c 
 Ta có 
 a a b b c c
 P 1 1 1
 b c a c a b 0,25
 a b a c b c
 P 3 
 b a c a c b
 a b
 Vì a;b là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số và 
 b a
 0,25
 a b a b
 ta có 2 . 2.
 b a b a
 Tương tự ta có: 
 a c a c
 2 . 2.
 c a c a b c b c 0,25
 2 . 2. 
 c b c b
 Do đó 
 a b a c b c
 2 2 2 6.
 b a c a c b
 a b a c b c
 3 9.
 b a c a c b
 P 9.
 Dấu “=” xảy ra khi a b c.
 0,25
 Vậy PMax 9 khi a b c.
Lưu ý khi chấm bài:
 - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày 
 cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
 - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.