Đề thi HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Thanh Thủy (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6,7,8 THCS
 NĂM HỌC 2023-2024 
Đề chính thức
 MÔN TOÁN 8
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 Đề thi có: 03 trang
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm). Thí sinh trả lời các câu 1 
đến 16. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Biết rằng với mọi giá trị của x thì 2x 3 3x a bx2 cx 3. Khi đó a b c 
 A. 14. B. 13. C. 12. D. 5.
Câu 2. Giá trị của biểu thức 2x 3 y 2 3 y 2 3 y 2 1 2x 2 4x 3 y 1 là
 A. 3. B. 2. C. 5. D. 4.
 2 2
Câu 3. Kết quả của phép tính x 16 . 2x x 16 . 2 x là
 x 2 x 4 x 2 x 4
 A. x 4. B. x 4. C. 1 . D. 1 .
 x 4 x 4
 2
Câu 4. Biết phân thức 6x x 1 a b c . Ta có a b c
 x3 x x x 1 x 1
 A. 6. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 5. Giá trị lớn nhất của phân thức A 2024 là
 x2 2x 2025
 A. 2024 . B. 506 . C. 1. D. 1.
 2025 507
Câu 6. Tổng tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức B 3x 1 nhận giá trị nguyên là
 2x 3
 A. 10. B. 2. C. 6. D. 3.
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 20cm, AC 16cm, đường cao AH. Độ dài AH là
 A. 12cm. B. 8,4cm. C. 9,8cm. D. 9,6cm.
Câu 8. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, các đường trung tuyến AD, BE, CF. Gọi K là trung điểm của 
CG. Biết AD 12cm, độ dài của đoạn thẳng EK là
 A. 4cm. B. 8cm. C. 6cm. D. 3cm.
Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại I. Biết 
AB 12cm, BC 6cm. Độ dài EF bằng
 A. 2cm. B. 4cm. C. 6cm. D. 3cm. 2
Câu 10. Cho tam giác ABC không vuông, có các đường cao BE, CF. Biết AB 20cm, BC 30cm, 
BE 16cm. Độ dài đoạn thẳng EF bằng
 A. 9cm. B. 12cm. C. 18cm. D. 16cm.
Câu 11. Cho tam giác ABC có µA 1200 ,Cµ 150 , AB a , đường phân giác AD. Tính 1 1 
 BD2 BC 2
theo a, ta được kết quả bằng
 2
 A. 4 . B. 3 . C. 4 . D. a .
 a2 4a2 3a2 4
Câu 12. Để phương trình 2 x 1 2m2 3x 5 có nghiệm x 1 thì tổng tất cả các giá trị của m thỏa 
mãn là 
 A. 0. B. 2. C. 4. D. 1.
Câu 13. Nghiệm của phương trình x 20 x 19 x 18 ... 2023 2024 2024 là
 A. x 2023. B. x 2003. C. x 2024. D. x 0.
Câu 14. Với giá trị nào của m thì đồ thị của ba đường thẳng y mx 2; y 5x 2; y x 4 đồng quy?
 A. m 1. B. m 5. C. m 7. D. m 7.
Câu 15. Hàm số bậc nhất có đồ thị song song với đồ thị của hàm số y 3x 1 và cắt trục tung tại điểm 
có tung độ bằng 1 là
 A. y 3x 1. B. y 3x 1. C. y 3x 1. D. y 3x 1.
Câu 16. Sau một nhiệm kì, tỉ lệ ủng hộ ứng cử viên A tại một địa phương giảm đi 20%, vì vậy mà tỉ lệ cử 
tri không ủng hộ ứng cử viên A nhiệm kì này là 55%. Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A nhiệm kì trước là
 A. 68,75%. B. 56,25%. C. 66%. D. 58,75%.
II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI. Thí sinh trả lời các câu hỏi 1, 2. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi 
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho tam giác ABC có AB 5cm, BC 8cm,CA 6cm , tam giác PMN có MN 4cm, PN 3cm .
 A. Nếu MP 2,5cm thì ABC∽ PMN . B. Nếu MP 2cm thì thì ABC∽ PMN .
 S S
 ABC PMN 1
 C. Nếu ABC∽ PMN thì 2. D. Nếu ABC∽ PMN thì .
 SPMN S ABC 4
Câu 2. Thực hiện tung đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất 1 lần.
 A. Số kết quả có thể là 36.
 B. Xác suất để biến cố: tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 5 xảy ra là 5 .
 36
 C. Xác suất để biến cố: tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 7 xảy ra là 6 .
 36 3
 D. Xác suất để biến cố: tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 11 xảy ra là 1 .
 36
B. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
 a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của 
chúng là một số chính phương lẻ.
 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a , ta có a11 a  66 .
Câu 2. (4,0 điểm)
 a) Cho đa thức P x x3 bx2 cx d . Biết P 2 4; P 3 9 . Tính P 4 P 1 .
 b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c 1 và a3 b3 c3 4 . Tính giá trị của biểu thức 
 P 1 1 1 .
 a bc b ca c ab
Câu 3. (4,0 điểm)
 Cho hai điểm B và C cố định sao cho BC 2a a 0 và A thay đổi sao cho tam giác ABC luôn 
vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt các đường phân giác 
các góc AMB và AMC lần lượt tại P và Q. Gọi D là giao điểm của MP và AB và E là giao điểm của MQ 
với AC. 
 a) Chứng minh rằng PA2 PD.PM và BP.CQ AM 2 .
 b) Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a.
Câu 4. (2,0 điểm)
 Một chiếc tàu điện gồm 3 toa tiến vào 1 sân ga có 12 hành khách, trong đó có An và Bình chờ lên 
tàu. Giả sử hành khách tiến lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập nhau, mỗi toa còn ít nhất 12 chỗ 
trống. Tính xác suất để biến cố: “An và Bình lên cùng một toa” xảy ra.
Câu 5. (1,0 điểm)
 Cho hai số a, b không âm thỏa mãn a 2b a2 4b2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 2024
 S 2024 a 2b .
 a 1 2b 1 
 .......................HẾT.......................
 Họ và tên thí sinh: ................................................................... SBD: ..................
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 4
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6,7,8 THCS 
 NĂM HỌC: 2023-2024
 MÔN: TOÁN
 Hướng dẫn chấm có: 05 trang
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Mỗi câu đúng được 0,25 điểm
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 Đ/A C A A B D C D A B C C A B B D B
II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Điểm tối đa của mỗi câu là 1,0 điểm.
 - Thí sinh chỉ chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm
 - Thí sinh chỉ chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm
 - Thí sinh chỉ chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,5 điểm
 - Thí sinh chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1,0 điểm.
 Câu A B C D
 1 Đúng Sai Sai Đúng
 2 Đúng Sai Đúng Sai
B. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1. (3,0 điểm)
 Gợi ý Điểm
 a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng 1,5
 với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
 2
 Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là a và a 1 2 với a ¥ . 
 0,25
 Ta cần chứng minh A a2 a 1 2 a2 a 1 2 là số chính phương lẻ
 2
 a2 a 1 2 a2 a 1 2 a4 2a2 a 1 a 1 2 a2 a 1 với a là số tự 
 0,75
 nhiên sẽ là một số chính phương.
 Học sinh chứng minh được a2 a a a 1 2 là số tự nhiên chẵn 0,25
 Suy ra a2 a 1 là số lẻ. Vậy A là số chính phương lẻ. 0,25 5
 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a , ta có a11 a 66 . 1,5
 Ta sẽ chứng minh a11 a 6 và a11 a 11
 Do 11 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat có a11  a mod11 (*) 0,25
 Do 2 và 3 là các số nguyên tố nên theo định lý Fermat, ta có 
 0,25
 a3  a mod3 1 ;a2  a mod 2 
 Do a2  a mod 2 a3  a2  a mod 2 (2)
 0,25
 Từ (1) (2) và (2,3) = 1 suy ra a3  a mod 6 a5  a3  a mod 6 
 7
 a  a mod 6 0,25
 a11  a5  a mod 6 (**) 0,25
 Từ (*) (**) và do (6,11) = 1 suy ra đpcm.
 0,25
Câu 2. (4,0 điểm)
 a) Cho đa thức P x x3 bx2 cx d . Biết P 2 4; P 3 9 . Tính P 4 P 1 .
 b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c 1 và a3 b3 c3 4. Tính giá trị của biểu thức 
 P 1 1 1 .
 a bc b ca c ab
 Gợi ý Điểm
 a) Cho đa thức P x x3 bx2 cx d . Biết P 2 4; P 3 9 . Tính P 4 P 1 . 2,0 
 Xét đa thức Q x P x x2
 0,5
 Thế thì Q 2 Q 3 0 suy ra x 2; x 3 là hai nghiệm của đa thức Q x 0,25
 Viết Q x x 2 x 3 x a , với a là một số thực và là nghiệm thứ ba của Q(x) 0,5
 P x x 2 x 3 x a x2
 0,5
 P 4 2 4 a 16 24 2a ; P 1 2 1 a 1 3 2a
 Từ đây tính được P 4 P 1 21. 0,25
 b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c 1 và a3 b3 c3 4. Tính giá trị 
 của biểu thức 2,0 6
 P 1 1 1 .
 a bc b ca c ab
 HS biến đổi a bc a.1 bc a. a b c bc a a b c a b a b a c 0,25
 Tương tự b ca b c a b ;c ab c a c b 0,25
 Nhận thấy nếu a b 0 thì do a b c 1 c 1 a3 b3 c3 1 mà 
 a3 b3 c3 4 (vô lí). Do vậy a b 0 . Tương tự cũng có b c 0;c a 0 .
 0,5
 Như vậy ta có biểu thức P được xác định.
 P 1 1 1 1 1 1
 a bc b ca c ab a b a c b c b a c a c b 
 2 a b c 0,5
 = 2
 a b b c c a a b b c c a 
 Áp dụng hằng đẳng thức a b c 3 a3 b3 c3 3 a b b c c a 
 0,25
 Ta có P 2.3 6 2
 a b c 3 a3 b3 c3 1 4 0,25
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho hai điểm B và C cố định sao cho BC 2a a 0 và A thay đổi sao cho tam giác ABC luôn vuông tại 
A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt các đường phân giác các góc 
AMB và AMC lần lượt tại P và Q. Gọi D là giao điểm của MP và AB và E là giao điểm của MQ với AC. 
 2
 a) Chứng minh rằng PA PD.PM và BP.CQ AM 2 .
 b) Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a.
 Gợi ý Điểm 7
 Q
 A
 P
 D E
 B M C
 2
 a) Chứng minh rằng PA PD.PM và BP.CQ AM 2 . 2,0
HS chứng minh được MA = MB = MC nên tam giác MAB và MAC là các tam giác 0,5
cân tại M
Lại có MP và MQ là các đường phân giác của góc AMB và AMC nên MP vuông góc 0,25
với AB và MQ vuông góc với AC
 2
HS chứng minh được PAD∽ PMA suy ra PA PD.PM 0,5
HS chứng minh được PA = PB, QA = QC (1) 0,25
 AQ AM 2
 AMP∽ AQM AM AQ.AP (2)
 AM AP
 2
Từ (1) và (2) suy ra BP.CQ AM . 0,5
 b) Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP theo a. 2,0
HS chứng minh được PB và QC cùng vuông góc với BC 0,25
Suy ra PB∥ QC Tứ giác PBQC là hình thang vuông 0,25
 BP CQ .BC
S = 
 PBCQ 2
 2
 AP AQ 2. AP.AQ .BC 2
 .BC AM .BC BC 2a
 2 2 2 0,5
Kẻ AH vuông góc với BC thì S AH .BC AM .BC a2 0,25
 ABC 2 2
 2 2 2 0,25
S ABP S ACQ SPBCQ S ABC 2a a a
Đẳng thức xảy ra khi H và M trùng nhau và AP = AQ khi đó tam giác ABC vuông cân 
tại A. 8
 0,25
 Vậy GTNN của tổng diện tích hai tam giác ACQ và ABP là a 2 0,25
Câu 4. (2,0 điểm)
 Một chiếc tàu điện gồm 3 toa tiến vào 1 sân ga có 12 hành khách, trong đó có An và Bình chờ lên tàu. 
Giả sử hành khách tiến lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập nhau, mỗi toa còn ít nhất 12 chỗ trống. 
Tính xác suất để biến cố: “An và Bình lên cùng một toa” xảy ra.
 Gợi ý Điểm
 12 12
 Số cách để 12 hành khách lên tàu là 3 không gian mẫu là 3 0,5
 An có 3 cách chọn toa tàu, do An và Bình cùng lên 1 toa nên Bình có 1 cách lên tàu 0,5
 10 hành khách còn lại có 310 cách lên tàu 0,5
 10 0,5
 Xác suất của biến cố: “An và Bình lên cùng một toa” là 3.1.3 1
 312 3
Câu 5. (1,0 điểm)
 2 2
 Cho hai số a, b không âm thỏa mãn a 2b a 4b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 2024
 S 2024 a 2b .
 a 1 2b 1 
 Gợi ý Điểm
 2
 2 2 a 2b 2
 HS biến đổi điều kiện a 2b a 4b a 2b 2 a 2b 0
 2
 a 2b a 2b 2 0 0 a 2b 2 0,25
 a 2b 1 1 1 1 2 1 1 2 4
 a 1 2b 1 a 1 2b 1 a 1 2b 1 a 2b 2
 2 4 1
 2 2 0,5
 a 1
 a 2b 1
 Dấu “=” xảy ra khi b 1
 2
 0,25
 Vậy Max S 2024 1 2025khi a 1 và b 1 .
 2