Đề thi HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Nam Định (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2023 - 2024
 Môn: Toán – Lớp: 8 THCS.
 Thời gian làm bài: 120 phút
 Đề thi gồm: 02 trang.
Bài 1. (4,0 điểm)
 1 1 1 1
 1) Cho các số thực a, b, c khác 0 thoả mãn a b c và 2024. Chứng minh 
 2024 a b c
 1 1
 rằng trong các số a, b, c luôn tồn tại một số bằng hoặc bằng . 
 2024 2024
 2) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và thoả mãn ab bc ca 2. Tính giá trị của 
 a2 2 bc 1 b2 2 ac 1 c2 2 ab 1 
 biểu thức P 1013 ab bc ca .
 a b 2 b c 2 c a 2
Bài 2. (3,5 điểm) 
 x2 16x 25 31 6x
 1) Tìm số thực x thoả mãn đẳng thức 4.
 1 2x x2 1
 2) Cho đa thức f (x) x3 ax2 bx c (với a, b, c ℝ). Biết đa thức f (x) chia cho đa thức 
 x 1 dư 2 và chia cho đa thức x 2 dư 7 . Tính giá trị của biểu thức 
 Q 2024a 2022b c 2023 1.
Bài 3. (3,5 điểm) 
 1) Một doanh nghiệp tư nhân ở thành phố A chuyên kinh doanh các loại máy vi tính. Hiện nay, 
 doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh máy tính với chi phí mua vào là 23 triệu 
 đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì dự kiến số lượng máy tính mà 
 khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ 
 dòng máy tính đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước lượng rằng nếu cứ 
 giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 20 
 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được 
 sẽ cao nhất?
 2024 2024 2024 2024 2024
 2) Cho A ... . Chứng minh 
 20232 1 20232 2 20232 3 20232 2022 20232 2023
 rằng A không phải là số tự nhiên.
Bài 4. (7,0 điểm) 
 1) Cho tam giác ABC nhọn, có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi I là trung 
 điểm của AH ; M là trung điểm của BC . Gọi K là giao điểm của AD và EF.
 a) Chứng minh rằng IM vuông góc với EF và E· FC E· BC.
 b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CF tại S . Chứng minh IK.ID IF 2 và 
 SM vuông góc với BI. 2) Ở một trường THCS X, trên một khu đất trống 
 hình chữ nhật, nhà trường dự định lấy 1666m2 đất 
 làm một sân bóng đá hình chữ nhật cho học sinh 
 với kích thước 30m 45m. Theo thiết kế, người ta 
 làm một hành lang có bề rộng bằng nhau bao quanh 
 sân bóng đá (minh họa như hình vẽ). Hãy tính bề 
 rộng của lối đi hành lang.
Bài 5. (2,0 điểm)
 1) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 0 x, y, z 2 và x y z 3. Hãy tìm giá trị lớn 
 nhất của biểu thức M x4 y4 z4 12 1 x 1 y 1 z .
 2) Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ. 
 Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.
 ------------Hết------------ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
 NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 NĂM HỌC 2023 - 2024
 Môn: Toán – Lớp: 8 THCS.
Bài Nội dung Điểm
 1 1 1 1
 1) Cho các số thực a, b, c khác 0 thoả mãn a b c và 2024. Chứng 
 2024 a b c
 2.0
 1 1
 minh rằng trong các số a, b, c luôn tồn tại một số bằng hoặc bằng .
 2024 2024
 1 1 1
 Ta có a b c a b c 2024 0.5
 2024 2024 a b c
 1 1 1 1 1 1
 Ta có 2024 2024
 a b c a b c
 Do đó 0.5
 1 1 1 1 1 1 1 1
 a b c a b c a b a b c c
 a b a b 1 1 
 a b 2 0
 ab c a b c ab ac bc c 
 0.5
 ac bc c2 ab
 a b 0 a b a c c b 0
 ab ac bc c2 
 1
 c 
 2024
 a b 
 1
 1 a c b 0.5
 2024 (đpcm) 
 c b 
 1
 a 
 2024
 2) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và thoả mãn ab bc ca 2. Tính giá 
 a2 2 bc 1 b2 2 ac 1 c2 2 ab 1 2.0
 trị của biểu thức P 1013 ab bc ca .
 a b 2 b c 2 c a 2
 Với ab bc ca 2
 Ta có 0.5
 a2 2 bc 1 a2 2bc ab bc ca a b a c 
 CMTT, ta có:
 b2 2 ac 1 b a b c ; 0.5
 c2 2 ab 1 c a c b 
 2 2 2
 a 2 bc 1 b 2 ac 1 c 2 ab 1 
 a b 2 b c 2 c a 2
 0.5
 a b a c b a b c c a c b 
 1
 a b 2 b c 2 c a 2 a b a c b a b c c a c b 
 P 2 2 2 1013.2 ( 1) 2026 2025 0.5
 a b b c c a 
 x2 16x 25 31 6x
 1) Tìm số thực x thoả mãn đẳng thức 4 .(*) 1.5
 1 2x x2 1
 1
 ĐKXĐ: x 0.25
 2
 Đặt a x2 1 và b 1 2x b 0 
 Khi đó
 0.25
 x2 16x 25 x2 1 8 1 2x 34 a 8b 34
 6x 31 34 3 1 2x 34 3b
 Khi đó (*) trở thành
 a 8b 34 34 3b
 4 a a 8b 34 b 34 3b 4ab
 b a 0.25
 a2 4ab 3b2 34a 34b 0 
 a b a 3b 34 0
 a b 0 0.25
 a 3b 34 0
 )a b 0 x2 1 1 2x 0
 x2 2x 2 0 0.25
 x 1 2 1 0 (loại vì x 1 2 1 0x )
2 )a 3b 34 0 x2 1 3 1 2x 34 0
 x2 6x 30 0
 x 3 2 39 0
 0.25
 x 3 39
 (thoả mãn ĐKXĐ)
 x 3 39
 Vậy x 3 39;3 39
 2) Cho đa thức f (x) x3 ax2 bx c (với a, b, c ℝ). Biết đa thức f (x) chia cho đa thức 
 x 1 dư 2 và chia cho đa thức x 2 dư 7 . Tính giá trị của biểu thức 2.0
 Q 2024a 2022b c 2023 1.
 Ta có: f (x) x3 ax2 bx c
 0.5
 Vì f (x) chia cho đa thức x 1 dư 2 f ( 1) 1 a b c 2 a b c 1.
 Vì f (x) chia cho đa thức x 2 dư 7 f (2) 8 4a 2b c 7 4a 2b c 1. 0.5
 Do đó 
 0.25
 a b c 4a 2b c a b
 4a 4c 4b 4
 Lại có 3c 6b 3 c 2b 1 0.25
 4a+c +2b = 1
 Khi đó, 
 2023 2023 0.5
 Q 2024b 2022b 2b 1 1 1 1 0 1) Một doanh nghiệp tư nhân ở thành phố A chuyên kinh doanh các loại máy vi tính. Hiện 
 nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh máy tính với chi phí mua vào là 
 23 triệu đồng và bán ra với giá 27 triệu đồng mỗi chiếc. Với giá bán này thì dự kiến số lượng 
 máy tính mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn 
 1.5
 nữa lượng tiêu thụ dòng máy tính đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và 
 ước lượng rằng nếu cứ giảm 100 nghìn đồng mỗi chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong 
 một năm sẽ tăng thêm 20 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải bán với giá mới là bao nhiêu để sau 
 khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất?
 Gọi x là số lần giảm giá (lần, x ¥*, x 40 ) 0.25
 Số tiền bán một máy sau khi giảm x lần là 27 0,1x (triệu đồng)
 Khi đó, lợi nhuận thu được khi bán một máy là 27 0,1x 23 4 0,1x (triệu đồng) 0.25
 Số máy bán được sau khi giảm giá là 600 20x (máy) 0.25
 Khi đó, lợi nhuận của công ty thu được là 600 20x 4 0,1x 2x2 20x 2400 0.25
 2 2
 Ta có, 2x 20x 2400 2 x 5 2450 2450. 0.25
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 5.
 Vậy giá trị lợi nhuận cao nhất sau khi giảm giá là 2450 triệu đồng.
 Khi đó, giá bán mới là 27 0,1.5 26,5 (triệu đồng). 0.25
 Hs có thể làm bài theo cách khác như:
 0.25
 Gọi x là giá mới mà doanh nghiệp phải bán (triệu đồng) x ¥ *; x 23 
3 Theo bài ra số tiền mà doanh nghiệp sẽ giảm là: 27 x (triệu đồng) mỗi chiếc
 0.25
 Khi đó, số lượng máy tăng lên là: 20. 27 x : 0,1 200 27 x (chiếc)
 Do đó số lượng máy mà doanh nghiệp dự kiến bán được là:
 600 200. 27 x 6000 200x (chiếc) 0.25
 Vậy doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là: 6000 200x x (triệu đồng)
 Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: 6000 200x .23 (triệu đồng)
 Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sau khi bán giá mới là:
 6000 200x x 6000 200x .23 200x2 10600x 138000 0.5
 200 x2 53x 690 200 x 26,5 2 2450 2450
 Giá trị lợi nhuận thu được cao nhất là 2450 triệu đồng. Khi đó giá bán mới là 26,5triệu đồng. 0.25
 2024 2024 2024 2024 2024
 2) Cho A ... . Chứng minh 
 20232 1 20232 2 20232 3 20232 2022 20232 2023 2.0
 rằng A không phải là số tự nhiên.
 2024 2024 2024
 Ta có: 
 20232 2023 20232 1 20232
 2024 2024 2024
 20232 2023 20232 2 20232
 2024 2024 2024 1.0
 20232 2023 20232 3 20232
 ...
 2024 2024 2024
 20232 2023 20232 2022 20232 2024 2024
 20232 2023 20232
 2024 2024 2024 2024 2024
 Do đó .2023 A ... 
 20232 2023 20232 1 20232 2 20232 3 20232 2023
 2024 2024 2024 2024 2024
 và A ... .2023 1.0
 20232 1 20232 2 20232 3 20232 2023 20232
 2024 2024
 1 A 2 A không phải là số tự nhiên (đpcm)
 2023 1012
 1) Cho tam giác ABC nhọn, có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi I là 
 trung điểm của AH ; M là trung điểm của BC . Gọi K là giao điểm của AD và EF.
 a) Chứng minh rằng IM vuông góc với EF và E· FC E· BC.
 5.0
 b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CF tại S . Chứng minh 
 IK.ID IF 2 và SM vuông góc với BI.
 A
 S
 I E
 K Q
 F
 P
 H
 B D M C
4 a) Chứng minh rằng IM vuông góc với EF và E· FC E· BC . 3.0
 1
 Xét tam giác AFH vuông tại F có trung tuyến FI FI AH 0.5
 2
 1 1
 Tương tự ta có EI AH; FM EM BC 0.5
 2 2
 Do đó IF IE;MF ME IM là trung trực của EF nên IM vuông góc với EF . 0.5
 + Chứng minh BHF : CHE(g.g) 0.75
 + Chứng minh FHE : BHC(c.g.c) 0.5
 Suy ra E· FC E· BC 0.25
 b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CF tại S . Chứng minh IK.ID IF 2 và SM 
 2.0
 vuông góc với BI .
 Gọi Q là giao điểm của IM và EF
 0.25
 Xét IQK và IDM có chung D· IM và I·QK I·DM 900 IQK : IDM g.g 
 IQ IK
 IQ.IM IK.ID (*) 0.25
 ID IM
 1
 Ta có FI AI AH AFI cân I·FA B· AD
 2 0.25
 Tương tự M· FB ·ABD Do đó ·AFI M· FB B· AD ·ABD 900 I·FM 900
Xét IQF và IFM có chung F· IM và 
 IQ IF
 I·QF I·FM 900 IQF : IFM g.g IQ.IM IF 2 (**) 0.25
 IF IM
Do đó, từ (*) và (**) ta suy ra IK.ID IF 2
Xét BDH và ADC có B· DH ·ADC 900 và H· BD D· AC (cùng phụ ·ACB )
 DH BD 0.25
 BDH : ADC g.g DH.DA DB.DC
 DC AD
Lại có IK.ID IF 2
 IK.ID IH 2 IH KH .ID IH 2
 IH ID IH KH.ID KH.ID HI.HD
 KH HI IA DK DA
 KH.ID HI.HD DK.DI DH.DA
 DH ID ID DH DI 0.25
 DK DC
 DK.DI DB.DC 
 DB DI
 DK DC
Xét KDC và BDI có và K· DC B· DI KDC : BDI c.g.c 
 DB DI
 B· ID B· CK B· CK I·BC B· ID I·BD 900 CK  BI
Vì BS song song với AC B· SC ·ACF
Ta có E· HC ·ACF F· HB ·ABE 900 ·ABH ·ACF B· SC
 0.25
Tương tự ta có B· AH B· CS
Xét SBC và BHA có B· SC H· BA và S· CB B· AH SBC : BHA g.g 
 SB BC BM
 và S·BM B· HI
 BH AH HI
 SB BM
Xét SBM và BHI có S·BM B· HI và SBM : BHI c.g.c 
 BH HI 0.25
 B· SM I·BH B· SM S· BI S· BE 900
Gọi P là giao điểm của BI và SM S· PB 900 SM  BI .
 2) Ở một trường THCS X, trên một khu đất 
trống hình chữ nhật, nhà trường dự định lấy 
1666m2 đất làm một sân bóng đá hình chữ nhật 
cho học sinh với kích thước 30m 45m. Theo 
 2.0
thiết kế, người ta làm một hành lang có bề rộng 
bằng nhau bao quanh sân bóng đá (minh họa 
như hình vẽ). Hãy tính bề rộng của lối đi hành 
lang.
Theo bài ra, ta có :
 1.25
 30+2x 45 2x 1666 (*)
Giải (*) ta tìm được giá trị x 2 0.5 Vậy bề rộng của lối đi hành lang là 2 m . 0.25
 1) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 0 x, y, z 2 và x y z 3. Hãy tìm giá trị 
 1.0
 lớn nhất của biểu thức M x4 y4 z4 12 1 x 1 y 1 z .
 Đặt x 1 a; y 1 b; z 1 c 1 a, b, c 1 và a b c 0
 Ta có M a 1 4 b 1 4 c 1 4 12abc
 4 4 4 3 3 3 2 2 2
 = a b c 4 a b c 6 a b c 4 a b c 3 12abc 0.25
 Vì a b c 0 a b c a3 b3 3ab a b c3 a3 b3 c3 3abc
 M a4 b4 c4 6 a2 b2 c2 3
 a4 a2 a
 4 2
 Vì 1 a;b;c 1 a ; b ; c 1 b b b
 4 2 0.25
 c c c
 Do đó M 7 a b c 3
 Vì a b c 0 nên:
 5
 + Nếu có 2 số trong ba số a, b, c bằng 0 thì số còn lại cũng bằng 0, khi đó M 3.
 + Nếu có 1 số trong ba số a, b, c bằng 0 thì hai số còn lại có giá trị tuyệt đối bằng nhau 0.25
 M 17.
 + Nếu cả ba số đều khác 0 thì trong ba số a; b; c tồn tại hai số cùng dấu M 17.
 Chỉ ra giá trị lớn nhất của M là 17 tại 1 cặp giá trị đúng của a, b, c , chẳng hạn 
 0.25
 a 1; b 1; c 0 x 2; y 0; z 1.
 2) Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và 
 1.0
 đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.
 Ta có đa giác đều gồm 2023 cạnh nên có 2023 đỉnh. Do đó tồn tại 2 đỉnh kề nhau được sơn 
 0.25
 bởi cùng một màu. Giả sử 2 đỉnh đó là P và Q được sơn màu đỏ.
 Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ, nên tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường 
 0.25
 trung trực của đoạn thẳng PQ . Giả sử đỉnh đó là A.
 Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh A, P,Q được tô cùng 
 màu đỏ.
 Nếu A tô màu xanh, khi đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác kề với P và Q. 0.25
 Nếu cả hai đỉnh B và C được tô màu xanh thì tam giác ABC cân và có 3 đỉnh cùng tô màu 
 xanh.
 Ngược lại, nếu một trong hai đỉnh B và C được tô mà đỏ thì tam giác BPQ hoặc tam giác 
 0.25
 CPQ là tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu đỏ.
 ----------HẾT---------
Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.................................................
Họ, tên và chữ ký của GT 1:..............................................Họ, tên và chữ ký của GT 2:........................