Đề thi mẫu Phương pháp tính

1Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng
ĐỀ THI MẪU PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Thời gian làm bài: 90 phút.
YÊU CẦU:
• KHÔNG làm tròn các kết quả trung gian. KHÔNG ghi đáp số ở dạng phân số.
• Các đáp số ghi vào bài thi được làm tròn đến 4 chữ số sau dấu phảy thập phân.
CÂU 1. Cho phương trình f(x) = 2x − 5x+ sin x = 0 có khoảng cách li nghiệm [0, 0.5]. Dùng phương pháp
Newton, chọn x0 theo điều kiện Fourier, tính nghiệm gần đúng x1 và đánh giá sai số ∆x1 theo công
thức sai số tổng quát.
Kết quả: x1 ≈ ; ∆x1 ≈ .
CÂU 2. Cho hệ phương trình:

6.25x1 + 0.22x2 − 0.57x3 = 12.34
0.22x1 + 8.42x2 − 0.44x3 = 10.63
−0.57x1 − 0.44x2 + 15.18x3 = 21.75
. Sử dụng phân rã Choleski
A = BBT tìm các phần tử b11, b22, b33 của ma trận tam giác dưới B.
Kết quả: b11 = ; b22 = ; b33 = .
CÂU 3. Cho hệ phương trình:

11x1 + 3x2 + 5x3 = 12.27
2x1 + 13x2 − 6x3 = 25.73
2x1 + 5x2 + 17x3 = 18.49
. Với x(0) = [0.3, 0.5, 0.1]T , hãy tìm
vectơ x(3) bằng phương pháp Gauss-Seidel.
Kết quả: x(3)1 = ; x
(3)
2 = ; x
(3)
3 = .
CÂU 4. Xây dựng spline bậc ba g(x) nội suy bảng số: x 1.0 1.5 2.0
y 4.2 4.8 6.5
và thoả điều kiện g′(1.0) = 0.5,
g′(2.0) = 0
Kết quả: g0(x) = ∀x ∈ [1.0, 1.5];
g1(x) = ∀x ∈ [1.5, 2.0].
CÂU 5. Cho bảng số x 22 23 24 25 26 27 28
f(x) 1.2 1.5 1.9 2.1 2.6 2.8 3.7
. Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất,
tìm hàm dạng f(x) = A 3
√
x+
B
x2
xấp xỉ tốt nhất bảng số trên.
Kết quả: A = ;B = .
CÂU 6. Cho bảng số x 1.0 1.5 2.0 2.5
y 3.7 4.3 5.8 6.7
. Sử dụng đa thức nội suy Newton tính gần đúng đạo hàm
y′(x) tại điểm x = 1.2.
Kết quả: y′(1.2) = .
2CÂU 7. Xét tích phân: I =
2∫
1
3
√
8x+ 3 dx. Dùng công thức Simpson mở rộng, xác định số đoạn chia tối
thiểu (nmin) để sai số 6 10−6. Với giá trị n = nmin vừa tìm được, hãy xấp xỉ tích phân trên.
Kết quả: nmin = ; I = .
CÂU 8. Xét bài toán Cauchy
{
y′ = xy2 + e−x+1.5x, 1 6 x
y(1) = 0.5
. Sử dụng công thức Runge-Kutta cấp 4, hãy
xấp xỉ giá trị của hàm y(x) tại x = 1.2 với bước h = 0.2.
Kết quả: K2 = ; y(1.2) = .
CÂU 9. Xét bài toán Cauchy đối với ptvp cấp 2:
{
y′′(t) = cos (y(t) + 1) + sin (y′(t) + 2) + 2.1t, 1 6 t
y(1) = 1.4; y′(1) = 0 . Thực
hiện phép đổi biến y′(t) = x(t) và sử dụng công thức Euler, hãy xấp xỉ giá trị của hàm y(t) và đạo
hàm y′(t) tại điểm t = 1.2 với bước h = 0.2.
Kết quả: y(1.2) = ; y′(1.2) = .
CÂU 10. Xét bài toán biên:
{
(x2 + 1)y′′+ 5xy′ − 10y = −8x2, 1.4 6 x 6 1.8
y(1.4) = 0; y(1.8) = 0.8
. Bằng phương pháp sai phân
hữu hạn, hãy xấp xỉ giá trị của hàm y(x) trong [1.4, 1.8] với bước h = 0.1.
Kết quả: y(1.5) = ; y(1.6) = ; y(1.7) = .
ĐÁP SỐ:
Câu 01: x1 = 0.3024, ss = 0.0061
Câu 02: b11 = 2.5000, b22 = 2.9004, b33 = 3.8868
Câu 03: x(3)(1) = 0.3493, x(3)(2) = 2.1185, x(3)(3) = 0.4235
Câu 04: A = 4.20, B = 0.50, C = −1.45, D = 5.7000
A = 4.80, B = 3.32, C = 7.10, D = −13.9000
Câu 05: A = 2.0438, B = −2276.9765
Câu 06: I = 0.9800
Câu 07: n = 8, I = 2.459611
Câu 08: K2 = 0.5080, y(1.2) = 1.0256
Câu 09: y(1.2) = 1.4000, y′(1.2) = 0.4544
Câu 10: y1 = 0.3416, y2 = 0.5722, y3 = 0.7190
Các bạn vui lòng kiểm tra lại. Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ: tlethai@hcmut.edu.vn