Đề thi Olympic Toán 8 - Năm học 2023-2024 (Có đáp án)

 ĐỀ THI OLYMPIC
 MễN: TOÁN – LỚP 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 NĂM HỌC 2023 – 2024
 (Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1: (5,0 điểm).
 1 6x 3 2 
 Cho biểu thức: A 3 2 :(x 2) với x ≠-1; x≠-2.
 x 1 x 1 x x 1 
 a) Rỳt gọn A.
 b) Tỡm x để A = 4 .
 19
 x3 x2 x
 c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = A.B với B = 
 (x 1)2
Bài 2: (4,0 điểm)
 x 58 x 162 x 151 x 110
 1. Giải phương trỡnh: 0
 7 31 17 10
 2. Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x;y) thỏa món: x2 6y2 xy 2y x 5 0
Bài 3: (4,0 điểm). 
 1. Cho , , đụi một khỏc nhau và khỏc 0. Chứng minh rằng:
 a b b c c a c a b
 Nếu + + = 0 thỡ ( ).( ) = 9
 c a b a b b c c a
 y2 2x 4
 2. Cho cỏc số dương x , y thỏa món: . 
 4x2 12x 9 y 1
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: Q xy 3y 2x 3
Bài 4: (6,0 điểm). 
 1. Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC 
 M B,C . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho 
BE CM.
 a) Chứng minh: OEM vuụng cõn
 b) Chứng minh: ME / /BN
 c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M ,H thẳng hàng.
 2. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú 900 < Bà < 1800. Từ B kẻ BK  AD , BI  CD
 ( K AD, I CD ). Gọi H là trực tõm của BIK . Biết BD = 17cm, IK = 15cm. 
 Tớnh độ dài BH ?
Bài 5: (1,0 điểm). 
 Tỡm cỏc cặp số nguyờn (a; b) thỏa món: 2024a 2 b 2025b2 a
 Hết . HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC
 MễN: TOÁN – LỚP 8
 NĂM HỌC 2023 – 2024
 CÂU í ĐÁP ÁN Biểu 
 điểm
Bài 1 a) 1 6x 3 2 
 a) A 3 2 : (x 2) với x ≠ -1; x ≠ -2.
(5,0 (2,0 x 1 x 1 x x 1 
điểm) điểm) x2 x 1 6x 3 2x 2 1,0đ
 = 2 : (x 2)
 (x 1).(x x 1) 
 x2 3x 2 (x 1)(x 2)
 = 0,5đ
 (x 1)(x2 x 1)(x 2) (x 1)(x2 x 1)(x 2)
 1
 2
 x x 1 0,5đ
 Vậy .
 b) b) với x ≠ - 1; x ≠ - 2.
 (1,5 A = 4 
 điểm) 19
 1 4
 4x2 4x 4 19 0,5đ
 x2 x 1 19
 Suy ra: 4x2 – 4x – 15 = 0 
 (2x 1)2 16 2x 1 4 0,5đ
 Suy ra: x = 5 (TM) ; x = 3 (TM).
 2 2 0,5đ
 Kết luận .
 c) (1,5 c) với x ≠ - 1; x ≠ - 2. Ta cú: 
 điểm) 1 x3 x2 x x 0,5đ
 P = A.B = . 
 x2 x 1 x 1 2 (x 1)2
 Đặt t = x + 1 x = t - 1. 
 t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5đ
 Khi đú P = ( ) ( )2 
 t 2 t 2 t 4 4 t 2 4 4
 GTLN của P = 1
 4 0,5đ
 t = 2 x = 1 (t/m).
 x 58 x 162 x 151 x 110
Cõu 2 1) 0 
(4,0 a.(2,0đ) 7 31 17 10
điểm) x 58 x 162 x 151 x 110 0,5đ
 6 2 3 1 0 
 7 31 17 10 
 x 100 x 100 x 100 x 100
 0
 7 31 17 10
 1 1 1 1 0,75đ
 (x 100) 0
 7 31 17 10 
 1 1 1 1 
 Vỡ 0
 7 31 17 10 0,25đ x 100 0 x 100
 Vậy x 100 0,5đ
 x2 6y2 xy 2y x 5 0
 4x2 24y2 4xy 8y 4x 20 0
 b.(2,0đ)
 (2x)2 4x(y 1) (y 1)2 (y 1)2 24y2 8y 20 0
 (2x y 1)2 25y2 10y 21 0
 (2x y 1)2 (25y2 10y 1) 20
 (2x y 1)2 (5y 1)2 20
 (2x 6y 2)(2x 4y) 20
 1,0đ
 (x 3y 1)(x 2y) 5
 x 2y Z
 Cú x; y Z nờn 
 x 3y 1 Z
 Mà 5 = 1.5 = (-1).(-5 )
 Bảng giỏ trị nguyờn tương ứng:
 x-2y 1 5 -1 -5
 x+3y-1 5 1 -5 -1 0,5đ
 x 3 Loại Loại -3
 y 1 Loại Loại 1
 Thử lại với x = 3; y = 1; x = -3; y = 1 đều thỏa món: 
 0,5đ
 Vậy x; y (3;1); ( 3;1) .
Cõu 3: a.(2,0đ) 
 Đặt = ; = ; = x 0; y 0; z 0
(4,0đ) 
 1 1 1
 ⇒ = ; = ; = (1)
 ― ― ― 
 1 1 1 0,5đ
 ⇔( + + ) + + = 9
 1 1 1 
 Ta cú: ( + + ) + + = 3 + + +
 (2)
 2 2 
 Ta lại cú: = + . = .
 ( )( ) ( ) [2 ( )] 2 2
 = ( ) = = = 0,5đ
 ( Với a +b + c = 0)
 2 2
 Tương tự ta cú 2 2 
 : = ; = 
 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
 ( + + ) + + = 3 + + + = 3 + ( 3 + 3 + 3)
 Vỡ + + = 0⇒ 3 + 3 + 3 = 3 0,5đ
 Do đú: 1 1 1 2
 ( + + ) + + = 3 + .3 = 3 + 6 = 9
 0,5đ
 b.(2,0đ) y2 2x 4 y2 2x 4
 Ta cú: 
 4x2 12x 9 y 1 (2x 3)2 y 1
 Đặt a y ; b 2x 3 a 0;b 3 
 a2 b 1
 Ta được: a3 a b3 b
 b2 a 1
 (a b)(a2 ab b2 a b) 0 1 0,5đ
 Vỡ a 0;b 3 nờn a2 ab b2 a b 0 .
 Do đú : 1 a b .
 Suy ra: y 2x 3 . 0,25đ
 Nờn : Q x(2x 3) 3(2x 3) 2x 3 
 2
 2 2 5 5 121 
 Q 2x 5x 12 2(x x 6) 2 x .
 2 4 16 
 2
 5 121 121 0,75đ
 Q 2 x .
 4 8 8
 5 11
 Dấu " " xảy ra khi: x ; y (thỏa món).
 4 2
 0,5đ
 121 5 11
 Vậy GTNN của Q là tại x ; y .
 8 4 2
Cõu 4 
(6,0 đ)
1. (4,0đ)
 0,25đ
 Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú: OB=OC và 
 Oã BE Cà 450 (t/ c)
 a.(1,5đ) 1
 ã à 0
 Xột OEB và OMC cú OBE C1 45 ,BE CM (gt) , 
 OB=OC
 OEB OMC c.g.c à ả 0,75đ
 OE OM và O1 O3 ( cạnh tương ứng và gúc tương 
 ứng)
 Lại cú: Oả Oả Bã OC 900 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh 
 2 3 0,5đ
 ả à ã 0
 vuụng O2 O1 EOM 90
 Kết hợp với OE OM OEM vuụng cõn tại O 0,25đ
 Từ giả thiết tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB / /CD và 
 AB = CD
b. 
(1,25đ) AM BM
 +) AB / /CD AB / /CN (định lý Ta let) (*)
 MN MC 0,75đ
 Mà BE CM (gt) và AB CD AE BM thay vào * 
 AM AE
 Ta cú: ME / /BN 0,75đ
 MN EB
 Gọi H 'là giao điểm của OM và BN
 Từ ME / /BN Oã ME Oã H 'B (cặp gúc đồng vị)
c. 0,5đ
(1,0đ) Mà Oã ME 450 vỡ OEM vuụng cõn tại O
 ã 0 à
 MH 'B 45 C1 OMC : BMH '(g.g)
 OM MC
 , kết hợp Oã MB Cã MH '(hai gúc đối đỉnh)
 MB MH
 OMB : CMH '(c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450
 Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN 0,5đ
 Mà CH  BN H BN H  H 'hay 3 điểm O,M ,H
 thẳng hàng (đpcm)
 B M
 C
 H I
 A K D
 Kẻ DM  BC tại M. Ta cú: 2:(2,0đ) BM / /DK(gt)
 BK  AD  BK / /DM 0,75đ
 DM  BC 
 BM / /DK(gt)
 Xột tứ giỏc BMDK cú: BK / /DM  BMDK là hỡnh chữ 
 BK  KD 
 nhật BD KM ; KD BM
 IH / /KD
 Xột tứ giỏc KDIH cú :  KDIH là hỡnh bỡnh 
 HK / /ID
 hành KD HI 
 0,75đ
 IH BM ( KD)
 Xột tứ giỏc BHIM cú :  BHIM là hỡnh 
 IH PBM (PKD) 
 bỡnh hành BH PMI; MI BH 
 Mà BH  KI MI  KI hay MIK vuụng tại I
 Áp dụng định lớ Pytago vào MIK vuụng tại I ta được: 
 MI MK 2 KI 2 172 152 8 0,5đ
 Vậy BH 8cm. 
 2024a 2 b 2025b2 a * 
 2 2 2
 2024 a b b a b 0,25đ
Cõu 5 a b 2024a 2024b 1 b2
 ( 1,0 đ).
 ) a b 0 a b, thay vào (*) ta được a = b = 0
 ) a b 0
 Vỡ 2024a 2024b 1 lẻ nờn b 0 0,25đ
 do đú a > b
 suy ra a – b > 0
 Gọi ƯCLN( 2024a 2024b 1;a – b) = d 0,25đ
 suy ra 
 2024a 2024b 1d 2024a 2024b 1d
 a bd a bd 1d d 1
 2 2 
 b d b d
 2024a 2024b 1 và a – b là cỏc số chớnh phương 
 Do 2024a 2024b 1 chia cho 4 dư 3 nờn 0,25đ
 2024a 2024b 1 khụng phải là số chớnh phương (vỡ số chớnh 
 phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1)
 Vậy (a;b) = (0; 0)
 - Thớ sinh làm bài theo cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn cho điểm tối đa theo quy định 
 của biểu điểm
 - Tổng điểm của bài thi được làm trong đến 0,25 đ