Đề thi Olympic Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Quốc Oai (Có đáp án)

 PHềNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ OLYMPIC TOÁN 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2023 - 2024
 Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
 (Đề gồm cú 02 trang)
 Họ và tờn: ..................... .. .. SBD:............. 
 Cõu 1 (4 điểm)
 2
 1/ Cho x 2 3 . Tớnh 3x 4x 3
 2/ Cho x, y là 2 số khỏc nhau thoả món: x2 + y = y2 + x.
 x2 y2 xy
 Tớnh giỏ trị của biểu thức A 
 xy 1
 x 2
 3/ Cho x 20253 20233 . Tớnh 
 6
 Cõu 2 (4 điểm)
 1/ Rỳt gọn biểu thức
 x 5 x 2x 5 2x 5
 A 2 2 : 2 , với x 0; x 5; x .
 x 25 x 5x 2x 10 5 x 2
 2/ Cho a,b, c thỏa món: (3a 2b)2 | 4b 3c | 0
 a3 b3 c3
 Tớnh giỏ trị của biểu thức Q 
 abc
 3/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): (m 4)x (m 3)y 1 (m là tham 
 số). Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
 Cõu 3 (4 điểm)
 1/ Trong tỳi đựng 48 viờn bi cựng kớch thước và khối lượng với hai màu đỏ và 
 xanh. Lấy ngẫu nhiờn một viờn bi từ tỳi. Biết rằng xỏc suất lấy được viờn bi đỏ bằng 
 92% xỏc suất lấy được viờn bi màu xanh. Hỏi trong tỳi cú bao nhiờu viờn bi màu đỏ, 
 bao nhiờu viờn bi màu xanh?
 1 1 1
 2/ Giải phương trỡnh: .
 x2 2x 3 (x 1)2 48
 3/ Cho đa thức A(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a là số nguyờn dương. Biết rằng: 
 A(5) – A(4) = 2024. 
 Chứng minh: A(7) – A(2) chia hết cho 5
 Cõu 4 (6 điểm)
 Cho ABC cõn tại A. Trờn AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho AD = AE.
 a/ Tứ giỏc BDEC là hỡnh gỡ? b/ Tỡm vị trớ của D sao cho BD = DE = EC.
 c/ Với giả thiết phần b và BD  DC. Tớnh BC biết EC = 5cm.
Cõu 5 (2 điểm)
 D
 C
 6
 4
 h
 A B
 Tớnh độ dài h với cỏc dữ liệu trong hỡnh vẽ.
 Thớ sinh khụng được dựng mỏy tớnh cầm tay. 
 Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. PHềNG GD & ĐT QUỐC OAI Kè THI OLIMPIC
 Năm học 2023 - 2024
 HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 8
 Cõu Phần Nội dung Điểm
 2
 Cho x 2 3 . Tớnh 3x 4x 3
 1/
 Cú x2 4x 3 (x 2)2 1 (2 3 2)2 1 3 1 2 . 1
 1.5đ
 2
 Nờn 3x 4x 3 32 9 0.5
 Cho x, y là 2 số khỏc nhau thoả món: x2 + y = y2 + x.
 x2 y2 xy
 Tớnh giỏ trị của biểu thức A 
 xy 1
 2/ Cú: x2 + y = y2 + x x2 – y2 – (x – y) = 0 
 0.5
 1 1.5đ (x – y)(x + y – 1) = 0 
 4 đ Do x ≠ y nờn x – y ≠ 0 x + y – 1 = 0 hay x + y = 1 0.5
 x2 y2 xy (x y)2 xy 1 xy
 A 1
 xy 1 xy 1 xy 1 0.5
 x 2
 Cho x 20253 20233 . Tớnh 
 6
 3/ Đặt a = 2023 x = (a + 2)3 – a3 = 6a2 + 12a + 8 0,25
 1đ x – 2 = 6a2 + 12a + 6 = 6(a + 1)2
 0,25
 x 2 2
 (a 1) a 1 2024 0.5
 6
 x 5 x 2x 5 2x
 Rỳt gọn biểu thức A 2 2 : 2 
 x 25 x 5x 2x 10 5 x
 5
 với x 0; x 5; x .
 2
 1/ x 5 x 5(2x 5)
 2 
 1.5đ x2 25 x2 5x x(x 5)(x 5) 0,5
 4đ
 x 5 x 2x 5 10
 : 
 2 2 2 
 x 25 x 5x 2x 10 x 5 0.5
 10 2x 2(x 5)
 A 2
 x 5 x 5 x 5 0.5
 2/ Cho a,b, c thỏa món: (3a 2b)2 | 4b 3c | 0 1.5đ a3 b3 c3
 Tớnh giỏ trị của biểu thức Q 
 abc
 Ta cú: (3a 2b)2 0;| 4b 3c | 0, a,b,c
 Nờn: (3a 2b)2 | 4b 3c | 0 (3a 2b)2 | 4b 3c | 0 
 3a 2b 4b 3c 0 3a 2b; 4b 3c
 0,5
 a b c
 k
 2 3 4
 0,5
 a = 2k, b = 3k, c = 4k
 a3 b3 c3 8k3 27k3 64k3 99k3 33
 Q 0.5
 abc 24k3 24k3 8
 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): 
 (m 4)x (m 3)y 1 (m là tham số). Tỡm m để khoảng cỏch 
 từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
 + Với m = 4, ta cú đường thẳng (d): y=1, do đú khoảng cỏch 
 từ O đến (d) là 1 (1) 0,25
 + Với m = 3, ta cú đường thẳng (d): x= - 1, do đú khoảng 
 cỏch từ O đến (d) là 1 (2)
 3 
 1đ
 + Với m 3,m 4 thỡ đường thẳng (d) cắt Oy, Ox lần lượt tại 
 1 1 
 A 0; và B ;0 
 m 3 m 4 
 Hạ OH vuụng gúc với AB, trong tam giỏc vuụng OAB, ta cú 
 1 1
 OA ;OB 
 m 3 m 4
 Theo cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc OAB, ta cú
 1 1
 OA.OB OH.AB OA.OB OH.AB
 2 2 0,25
 OA.OB 1 AB2
 OH (*)
 AB OH 2 OA2.OB2
 Theo định lý Pythagore ta cú AB2 OA2 OB2
 1 OA2 OB2 1 1
 Thay vào (*) ta được 
 OH 2 OA2.OB2 OA2 OB2
 Áp dụng biểu thức trờn, ta cú 2
 1 1 1 2 2 7 1 1
 2 2 2 (m 3) (m 4) 2 m 
 OH OA OB 2 2 2
 OH 2 2 OH 2 (3)
 Từ (1), (2), (3) ta cú khoảng cỏch từ gốc tọa độ đến đường 
 7 0.25
 thẳng (d) lớn nhất là 2 khi m 
 2 
 0.25
 Trong tỳi đựng 48 viờn bi cựng kớch thước và khối lượng với 
 hai màu đỏ và xanh. Lấy ngẫu nhiờn một viờn bi từ tỳi. Biết 
 rằng xỏc suất lấy được viờn bi đỏ bằng 92% xỏc suất lấy 
 được viờn bi màu xanh. Hỏi trong tỳi cú bao nhiờu viờn bi 
 màu đỏ, bao nhiờu viờn bi màu xanh?
 Gọi số viờn bi màu đỏ cú trong tỳi là x (viờn) (đk: 0<x<48) 0,25
 Số viờn bi màu xanh cú trong tỳi là 48 – x (viờn)
 1 x
 Xỏc suất lấy được viờn bi màu đỏ là 
 1.5đ 48
 48 x
 Xỏc suất lấy được viờn bi màu xanh là 0.25
 48
 Theo đề bài ta cú phương trỡnh:
 x 48 x
 0,92. x 0,92(48 x) x 44,16 0,92x 0.5
 48 48
 x 0,92x 44,16 x 23 0.25
 Vậy số viờn bi màu đỏ cú trong tỳi là 23 (viờn)
 3
 Số viờn bi màu xanh cú trong tỳi là 48 – 23 = 25 (viờn) 0,25
4đ
 1 1 1
 Giải phương trỡnh: .
 x2 2x 3 (x 1)2 48
 ĐKXĐ: x 1, x 3. 0,25
 1 1 1
 Ta cú: (1) 2 
 (x 1)(x 3) (x 1) 48
 4 1
 2 (x 1)(x 3)(x 1)2 48
 1.5đ 2 2
 (x 2x 3)(x 2x 1) 192 0.25
 Đặt 2 +2 ―1 = ta cú phương trỡnh: (a 2)(a 2) 192
 2 = 14
 ⟺ = 196⟺ = ―14 0.25
 2 = ―5
 Với = 14 ⟹ +2 ― 1 = 14 ⟺ = 3 (thỏa món ĐKXĐ) 0,25
 Với = ―14 ⟹ 2 +2 ― 1 = ―14 . Phương trỡnh vụ 
 nghiệm. 0,25
 Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm là 푆 = { ―5;3} 0,25
 Cho đa thức A(x) = ax 3 + bx2 + cx + d với a là số nguyờn 
 dương. Biết rằng: A(5) – A(4) = 2024. 
 Chứng minh: A(7) – A(2) chia hết cho 5
 Chỉ ra A(5) = 125a + 25b + 5c + d 
 A(4) = 64a + 16b + 4c + d 
 3 A(5) – A(4) = 61a + 9b + c = 2024 0,5
 1đ Chỉ ra A(7) = 343a + 49b + 7c + d 
 A(2) = 8a + 4b + 2c + d 
 A(7) – A(5) = 335a + 45b + 5c = 5(61a + 9b + c) + 30a
 A(7) – A(5) = 5.2024 + 5.6a chia hết cho 5 vỡ a nguyờn 
 0.5
 dương
 Hoặc dựng hằng đẳng thức biến đổi tương đương
4 Cho ABC cõn tại A. Trờn AB, AC lần lượt lấy D, E sao 
(6đ) cho AD = AE.
 a/ Tứ giỏc BDEC là hỡnh gỡ?
 b/ Tỡm vị trớ của D sao cho BD = DE = EC.
 c/ Với giả thiết phần b và BD  DC. Tớnh BC biết EC 
 = 5cm.
 Vẽ hỡnh và cỏc kớ hiệu theo giả thiết
 A
 = = 0.5
 D E
 1
 2
 1
 B O C
 a/ Chỉ ra DE // BC và Bà =Cà Tứ giỏc BDEC là hỡnh thang cõn 1.5
 b/ Chỉ ra ECD cõn tại E nờn Dả Cả (1)
 1 2 
 0.5
 DE//BC nờn Dả Cà (1)
 1 1 0.5
 Cà Cả
 1 2 0.5
 CD là phõn giỏc của gúc C 0.5
 à à à à 0
 c/ Chỉ ra: B=C 2C1 3C1 90
 Bà =600
 0.5
 O là trung điểm của BC, trong BCD vuụng tại D ta cú:
 DO = BO 0.5
 OBD đều 0.5
 BC = 2DO = 2BD = 2EC = 2.5 = 10cm 0.5
5 1 1 1
 Chứng minh được + =
(2đ) AD BC h 1.5
 Và tớnh được h =2,4cm 0.5