Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi Toán 8

)
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), suy ra: 
4.3
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: , mµ 
Do ®ã: 
ĐỀ 9
Bµi 1: Ph©n tÝch: 
 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 
 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®
 §iÒu kiÖn: 0,5®
Rót gän P = 2®
 hoÆc 
 +) … P = 
 +) …P = 1®
P == 
Ta cã: 
 VËy P khi 
 x – 5 ¦(2)
 Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}
 x – 5 = -2 x = 3 (TM§K)
 x – 5 = -1 x = 4 (KTM§K)
 x – 5 = 1 x = 6 (TM§K)
 x – 5 = 2 x = 7 (TM§K)
KL: x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1®
 P == 0,25®
Ta cã: 1 > 0
§Ó P > 0 th× > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5®
Víi x > 5 th× P > 0. 0,25
Bµi 2:
a) 
 §K: 
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoÆc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)
 S = { 0} 1®
b) 
(123 – x)= 0
 Do > 0 
 Nªn 123 – x = 0 => x = 123
 S = {123} 1®
c) 
 Ta cã: => > 0
 nªn 
 PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:
 = 5 – 3
 = 2
 +) x - 2 = 2 => x = 4
 +) x - 2 = -2 => x = 0
 S = {0;4} 1®
Bµi 3(2 ®)
 Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25®
 VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:
 (3h20’ = ) 0,25®
 VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:
 0,25®
 Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:
 0,5® 
x =150 0,5®
 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25®
 VËn tèc dù ®Þnh lµ: 
Bµi 4(7®)
 VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng 0,5®
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. 
PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.
 AM//PO
tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1®
Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1®
 MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1®
 nªn kh«ng ®æi. (1®)
NÕu th× 
NÕu th× 1®
do ®ã CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)
 CD = 3 (cm) 0,5®
Bµi 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
 V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …) 
 = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
 = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1®
 Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
b) (1)
 V× => => 
 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1®
ĐỀ 10
Bài 1: (3 điểm) 
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ)
 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
 = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) 
b) (0,75đ) Xét (0,25đ) 
 Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ) 
 Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi = 
 = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
 = (0,25đ)
 = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = = (0,25đ) 
 = Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) 
 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) 
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 	 
 y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0	 (0,25đ) 
(y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 	 (0,25đ) 
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x	 (0,25đ) 
* x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0	 (0,25đ) 
x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1	 (0,25đ) 
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1	 
b) (1,75đ) 	 
	 (0,25đ) 
(0,5đ) Vì ; ; 	
A
B
E
I
D
C
 O
 F
2
1
1
 2
Do đó :	 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009	 
Bài 3: (2 điểm) 
a) (1đ) 
Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF cân tại D 
	Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) 	 
Mà = 900 = 900 	 
 = 900. VậyEDF vuông cân	 
 b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
	Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 
A
D
B
C
 E
MàEDF vuông cân DI =EF	
	Tương tự BI =EF DI = BI 	
 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng	 
Bài 4: (2 điểm) 
a) (1đ) 
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
= 2(x –)2 + 	 (0,25đ)
	Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ)
 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC	 (0,25đ)
b) (1đ) 
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =AD.AE =AD.BD =AD(AB – AD)=(AD2 – AB.AD) (0,25đ)
= –(AD2 – 2.AD + ) + = –(AD – )2 + (0,25đ)
	Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi	 (0,25đ)
 	Do đó min SBDEC =AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ 11
Bài 1(3 điểm):
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: ( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta có: 
 (0,25điểm)
 Do đó: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) 
Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hình đúng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)
Đề 12 
C©u
 Néi dung bµi gi¶i
C©u 1
(5®iÓm)
a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1n=2 khi ®ã A=5
b, (2®iÓm) B=n2+3n-
 B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2
 n2+2 lµ ­íc tù nhiªn cña 2
 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n
HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.
c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
 =n(n-1)(n+1) +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)
 Vµ 5 n(n-1)(n+15 VËy D chia 5 d­ 2
 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph­¬ng
 VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph­¬ng
C©u 2
(5®iÓm)
a, (1®iÓm) 
 =
b, (2®iÓm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) 
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0
 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0
 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 
c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi x=y
 ; ; 
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
C©u 3
(5®iÓm)
a, (2®iÓm) 
(x-300) x-300=0 x=300 VËy S =
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 
 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k=± 8,5
Víi k=8,5 tacã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x=
Víi k=- 8,5 Ta cã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 
VËy S =
c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d­¬ng
 Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1
 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)
C©u 4
(5®iÓm)
a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBA
 (cïng ®¸y vµ cïng ®­êng cao) 
 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB 
 Hay SAOD = SBOC
b, (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC 
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (NDF) +KÎ ®­êng th¼ng KN lµ ®­êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
1,0
1,0
ĐỀ 13 
Bài 1(3 điểm):
 a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
 b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
 c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) 
Bài 2(1,5 điểm):
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó: ( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm): 
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, (0,25điểm)
 với k, mN, 
 (0,25điểm)
 Ta có: 
 (0,25điểm)
 Do đó: m2–k2 = 1353 
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
hoặc 
m+k = 123 m+k = 41
 m–k = 11 m–k = 33 
hoặc 
 m = 67 m = 37 
 k = 56 k = 4 (0,25điểm) 
 Kết luận đúng = 3136 (0,25điểm) 
Bài 4 (4 điểm):
 Vẽ hình đúng (0,25điểm)
 a) ; (0,25điểm)
 Tương tự: ; (0,25điểm)
 (0,25điểm) 
 b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
(0,5điểm ) 
 c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)