Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 - năm học 2008 - 2009 môn: toán

ubnd tỉnh tuyên quang
sở giáo dục và đào tạo
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 - thPT
năm học 2008 - 2009
đề chính thức
*
môn: toán
 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề này có 01 trang)
 ---------- 
Câu 1 (5 điểm): Giải các phương trình sau:
1) sin(cosx) = cos(sinx).
2) .
Câu 2 (4 điểm): 
1) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx - x2 + y - x - 1 = 0. 
2) Chứng minh rằng: " mẻN, m > 1, nếu 2m - 1 là số nguyên tố thì m là số nguyên tố.
Câu 3 (4 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC và G là điểm sao cho . Chứng minh rằng:
1) Ba điểm A, G, A1 thẳng hàng.
2) Tứ giác A1B1C1D1 nội tiếp được trong một đường tròn.
Câu 4 (3 điểm): 
1) Chứng minh rằng trong các tam giác ngoại tiếp đường tròn (O, r) cho trước thì tam giác đều có diện tích nhỏ nhất (với r ẻR, r > 0).
2) Cho a, b, c ẻR\{1} thoả mãn: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = abc. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 ≥ 1.
Hãy chỉ ra một bộ số (a; b; c) với là a, b, c là các số hữu tỉ để xảy ra đẳng thức a2 + b2 + c2 = 1.
Câu 5 (4 điểm): Cho đa thức Pn(x) = xn - x - 2008 với n ẻN, n > 1. Chứng minh rằng:
1) Đa thức Pn(x) có một nghiệm duy nhất trong khoảng (1; 2008), kí hiệu nghiệm đó là xn.
2) Dãy số {xn} là dãy số giảm.
--------------------------------------------------------Hết-------------------------------------------------------------
ã Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ã Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.