Đề khảo sát chọn đội tuyển Toán 8 (Vòng II) - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Trần MAi Ninh (Có đáp án)

 PGD&ĐT TP THANH HOÁ
 TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN
 TOÁN 8 VÒNG II NĂM HỌC 2023 – 2024
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi 09 tháng 12 năm 2023 
 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
 Bài 1: (4,0 điểm).
 a) Phân tích đa thức: 8x3 + y3 + z3 – 6xyz thành nhân tử.
 b) Cho a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2.
 Chứng minh: an + bn = xn + yn (với mọi số tự nhiên n)
 Bài 2: (4,0 điểm).
 a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a 2 + 3ab 11b2 chia
 hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5.
 b) Tìm phần dư của phép chia đa thức P x cho x 1 x 2 . Biết rằng đa 
 thức P x chia cho x 1 dư 7 và chia cho x 2 dư 1.
 Bài 3: (4,0 điểm).
 a) Tìm x biết: (x 1) x2 3x 7 x3 1
 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x4 x2 y2 y 20 0 
 Bài 4: (6,0 điểm).
 1. Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác AEB đều nằm trong hình vuông. Đường 
 thẳng AE cắt BD ở F, DE cắt FC ở K. Chứng minh rằng:
 a) Tam giác DFE cân.
 b) K là trung điểm của CF. 
 2. Cho tam giác IHK cân ở I đường cao IM. Trên tia đối của HM vẽ N sao cho H 
 là trung điểm của MN. Vẽ MP vuông góc với IH. Gọi Q là trung điểm của IP. Chứng 
 minh rằng: NP vuông góc với QM.
 Bài 5: (2,0 điểm). 
 Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.
 2a2 2b2 2c2
 Chứng minh: a b c
 a b2 b c2 c a2
 ---------------Hết----------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 1 PGD&ĐT TP THANH HOÁ
 TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM 
 Biểu chấm gồm 02 trang KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG II
 NĂM HỌC 2023 – 2024 
Bài Nội dung cần đạt Điểm
 a) Phân tích đa thức: 8x3 + y3 + z3 – 6xyz thành nhân tử. 2,0
 Ta có: 8x3 y3 z3 6xyz (2x y)3 6xy(2x y) z3 6xyz 0,75
 (2x y z)[(2x y)2 z(2x y) z2 ] 6xy(2x y z) 0,75
 (2x y z)(4x2 y2 z2 2xy 2xz yz) 0,5
 b) Cho a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2. Chứng minh: an + bn = xn + yn 
 2,0
 (với mọi số tự nhiên n)
 Do a2 b2 x2 y2 (a x)(a x) (y b)(y b)
 Mà a b x y nên a x y b 0,5
Bài 1
4,0đ (y b)(a x) (y b)(y b) (y b)(a x) (y b)(y b) 0
 b y b y
 (y b)(a x b y) 0 
 a x b y 0 a x b y
 Xảy ra 2 trường hợp:
 0,5
 TH1: b = y khi đó a = x thì an + bn = xn + yn 
 TH 2: a + x = b + y mà a + b = x + y => a = y và b = x 0,5
 Khi đó an + bn = xn + yn 
 Vậy với a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2 thì an + bn = xn + yn 0,5
 (với mọi số tự nhiên n).
 a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a 2 + 3ab 11b2 chia 
 2,0
 hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5.
 Ta có: 4a 2 3ab 11b 2  5 ; 5a 2 5ab 10b 2  5
 0,5
 5a2 5ab 10b2 4a2 3ab 11b2  5
 2 0,5
 a2 2ab b2  5 a b  5
 a b  5 (Vì 5 là số nguyên tố) 0,5
 a4 b4 a2 b2 a b a b  5
Bài 2 0,5
4.0đ b) Tìm phần dư của phép chia đa thức P x cho đa thức x 1 x 2 . 
 2,0
 Biết rằng đa thức P x chia cho x 1 dư 7 và chia cho x 2 dư 1.
 Do x 1 x 2 x2 x 2 là đa thức bậc hai nên phần dư của phép chia P x 0,25
 cho x 1 x 2 là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2.
 Gọi phần dư cần tìm là ax b a,b R . 0,75
 Ta có tồn tại các đa thức Q1 x ,Q2 x ,Q3 x thỏa mãn:
 2 P x Q1 x x 1 x 2 ax b
 P x Q2 x x 1 7
 P x Q3 x x 2 1
 Vì P 1 7 nên a b 7 0,25
 Vì P 2 1 nên 2a b 1 0,25
 a b 7 a 2
 Từ đó ta được 
 2a b 1 b 5 0,25
 Vậy phần dư cần tìm là: 2x 5. 0,25
 a) Tìm x biết: (x 1) x2 3x 7 x3 1 2,0
 Vì x3 1 (x 1) x2 x 1 ; Do x2 x 1 0 x
 0,25
 Nên ta xét 2 trường hợp
 TH1: Nếu x 1 ta có 0,75
 (x 1) x2 3x 7 x3 1 (x 1) x2 3x 7 (x 1) x2 x 1 
 x 1 0
 (x 1) 2x 8 0 
 2x 8 0
 x 1 tháa m·n 
 x 4 tháa m·n 
 TH2: Nếu x < 1 ta có 
 (x 1) x2 3x 7 (x3 1) (x 1) x2 3x 7 (x 1) x2 x 1 0,75
 2 2 x 1 0
 (x 1) 2x 4x 6 0 2(x 1) x 3 0 
 x 3 0
Bài 3 x 1 kh«ng tháa m·n 
4,0đ x 3 tháa m·n 
 Vậy x 1; 3;4 0,25
 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x4 x2 y2 y 20 0 (1) 2,0
 Ta có: (1) x4 x2 20 y2 y
 Ta thấy x4 x2 x4 x2 20 x4 x2 20 8x2
 4 2 2 4 2 2 2 2
 x x 20 8x x 4x 5x 20 (x 4)(x 5) 0,5
 x2 x2 1 y y 1 x2 4 x2 5 
 Vì x, y ¢ nên ta xét các trường hợp sau
 + TH1: y y 1 x2 1 x2 2 x4 x2 20 x4 3x2 2 0,25
 2x2 18 x2 9 x 3
 Với x2 9 , ta có y2 y 92 9 20 y2 y 110 0
 y 10 ; y 11 (t.m)
 + TH2. y y 1 x2 2 x2 3 x4 x2 20 x4 5x2 6 0,25
 3 7
 4x2 14 x2 (loại)
 2
 2 2 2 2 4
 + TH3. y y 1 x 3 x 4 6x 8 x (loại) 0,25
 3
 4 2 4 2 2 2
 + TH4. x x 20 x 9x 20 8x 0 x 0 x 0 0,25
 Với x2 0 , ta có y2 y 20 y2 y 20 0 y 5 ; y 4 0,25
 1. Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác AEB đều nằm trong hình vuông. 
 Đường thẳng AE cắt BD ở F, DE cắt FC ở K. Chứng minh rằng:
 a) Tam giác DFE cân. 4,0
 b) K là trung điểm của CF. 
 D C
Bài 4.1 E
 4,0đ
 K
 L
 F
 A B
 a) Ta có ABE đều nên AB = AE => ABE tại A D· AE 300 0,5
 ABD vuông cân tại A nên B· DA 450 và D· AF 300 D· FE 750 0,75
 c/m ADE cân tại A 0,75
 Suy ra DFE cân tại D.
 b) Vì ·ADE 750 C· DE 150
 Từ D· EF 750 L· EF 1050
Câu 1 0,5
 4,0đ Từ C đường thẳng song song với AE cắt DK ở L.
 Ta có D· LC F· EL 1050 D· CL 600
 Suy ra: ABE đều
 0,5
 E· BA 600 ; D· BA 450 F· BE 150
 F· BE L· DC; DC BE; F· EB L· CD 0,5
 FEB LCD(g.c.g) CL EF
 0,5
 Mà CL / /FE CEFL là hình bình hành CK KF
 2. Cho tam giác IHK cân ở I đường cao IM. Trên tia đối của HM vẽ N 2,0
Bài 4.2 sao cho H là trung điểm của MN. Vẽ MP vuông góc với IH. Gọi Q là 
 2,0đ
 trung điểm của IP. Chứng minh rằng: NP vuông góc với QM.
 4 I
 Q
 P
 O G
 N
 H
 L M K
 2. Gọi O là trung điểm của PM=> OQ là đường trung bình của tam giác IMP 0,5
 => OQ //IM
 => Mà IM vuông góc với HK=> OQ vuông góc với HK 0,5
 => Lại có MP vuông góc với HI => O là trực tâm của tam giác QHM 0,5
 => HO vuông góc với QM.
 Vì OH là đường trung bình của tam giác NMP nên OH // PN
 NP vuông góc với QM. 0,5
 Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh 
 2a2 2b2 2c2
 rằng: a b c
 a b2 b c2 c a2
 2a2 2b2 2c2
 Đặt E 
 a b2 b c2 c a2
 x2 m2 (x m)2
 Chứng minh được bất đẳng thức 0,25
 y n y n
 2a2 2b2 2c2 4a4 4b4 4c3
 Ta có : E 
 a b2 b c2 c a2 2a3 2a2b2 2b3 2b2c2 2c3 2c2a2
 x2 m2 (x m)2 (2a2 2b2 2c2 )2 0,25
 Áp dung tacó : E 
 y n y n 2a3 2a2b2 2b3 2b2c2 2c3 2c2a2
Bài 5 a2 1 b2 1 c2 1
 Vì a nên a4 a2 2a3; b nên b4 b2 2b3; c nên c4 c2 2c3 0,25
2,0đ 2 2 2
 (2a2 2b2 2c2)2 36
 E 0,25
 2a3 2a2b2 2b3 2b2c2 2c3 2c2a2 a4 a2 2a2b2 b4 b2 2b2c2 c4 c2 2c2a2
 36 36
 E E 0,25
 (a2 b2 c2)2 a2 b2 c2 12
 (a b c)2
 Ta có: a2 b2 c2 
 3
 2 2 2 0,25
 2 2 2 2a 2b 2c
 Mà a b c 3 a b c 3 2 2 2 a b c
 a b b c c a 0,25
 2a2 2b2 2c2
 Vậy a b c
 a b2 b c2 c a2
 Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 1 0,25
 5