Đề thi HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Lâm Thao (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2023 – 2024
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 8
 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
 (Đề thi gồm 02 trang)
 I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (8,0 điểm)
 Câu 1. Cho hai số a,b thỏa mãn a b 1. Giá trị của biểu thức P 2a3 6ab 2b3 2 bằng
 A. 2. B. 1. C. 0. D. 1.
 Câu 2. Đa thức dư trong phép chia đa thức f (x) x50 x49 .... x2 x 1 cho đa thức x2 1 là
 A. 5x 26. B. 25x 1. C. 25x 26. D. 5x 1.
 1 1 1 yz xz xy
 Câu 3. Cho 0(với x, y, z 0 ). Giá trị của biểu thức A là
 x y z x2 y2 z2
 A. 1. B. 3. C. 0. D. 4.
 xy 3 x2 2xy y2
 Câu 4. Cho . Giá trị của biểu thức A bằng
 x2 y2 8 x2 2xy y2
 3 8 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 8 3 7 7
 x 6 1 6
 Câu 5. Cho biểu thức A 2 : , x 2 . Số các giá trị nguyên của x để biểu 
 x 4 3x 6 x 2 x 2
 thức A nhận giá trị nguyên là
 A. 1. B. 2. C. 4. D. 8.
 Câu 6. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được con bích là
 1 1 12 3
 A. . B. . C. . D. .
 4 13 13 4
 3x 1 2 5x
 Câu 7. Nghiệm của phương trình 2 là
 5 8
 A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
 Câu 8. Cho hai đường thẳng d1 : y 3x 1 và d2 : y 2x 3m 7 , với m là tham số. Giá trị của m 
 để đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 tại một điểm trên trục tung là
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
 Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , chiều cao bằng 15cm , thể tích là 1280cm3 . Khi đó diện 
 tích xung quanh Sxq của hình chóp là
 A. 548cm2. B. 542cm2. C. 544cm2. D. 546cm2.
 Câu 10. Cho hình thoi ABCD , biết độ dài hai đường chéo AC 24cm, BD 10cm. Chu vi hình thoi là
 A. 52cm. B. 48cm. C. 68cm. D. 72cm.
 1
 Câu 11. Cho hình bình hành ABCD , điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG DC . Gọi E là giao điểm 
 5
 của AG và BD . Kết quả của tỉ số DB : DE là
 A. 5. B. 4. C. 3. D. 6.
 1 Câu 12. Cho hình thang ABCD có AB 5cm,CD 15cm , độ dài hai đường chéo AC 16cm, BD 12cm. 
Diện tích hình thang ABCD bằng
A. 96cm2. B. 192cm2. C. 100cm2. D. 72cm2.
Câu 13. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB a. Một đường thẳng bất kì qua C cắt tia đối của các tia 
BA, DA lần lượt tại M và N . Khi đó tích BM.DN có giá trị bằng
A. 2a2. B. a2. C. 3a2. D. 4a2.
Câu 14. Cho hình thang ABCD có AB là đáy nhỏ, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ 
đường thẳng song song với AB cắt AD và BC theo thứ tự tại M , N. Hệ thức nào sau đây đúng?
 1 1 1 1 1 1  1 2 1 1 MN
A. . B. . C. . D. .
 AB CD MN CD MN AB AB CD MN AB CD 2
Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AD 6cm, AB 8cm và hai đường chéo cắt nhau tại O . Qua D kẻ 
đường thẳng d vuông góc với DB , d cắt BC kéo dài tại E . Kẻ CH vuông góc với DE tại H . Khi đó tỉ 
 S
số diện tích EHC bằng
 SEBD
 4 16 256 25
A. . B. . C. . D. .
 5 25 625 16
Câu 16. Bạn Nam đi siêu thị mua một món hàng đang khuyến mãi giảm giá 20%, Nam có thẻ khách hàng 
thân thiết của siêu thị nên được giảm thêm 2% trên giá đã giảm nữa, do đó Nam chỉ phải trả 196000 đồng 
cho món hàng đó. Giá ban đầu của món hàng nếu không khuyến mãi là
A. 250000. B. 225000. C. 350000. D. 375000.
II. PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 146 x 3 2y 3 0.
2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn 2n 7 và 3n 10 là các số chính phương. Chứng minh rằng n 340.
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình x 2 2 2x 1 2x 7 5.
 1 1 3
2. Cho hai số thực phân biệt a,b 0 thỏa mãn 1. Tính giá trị biểu thức 
 a3 b3 ab
 2024
A a 1 b 1 2023 .
Câu 3. (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh rằng BD.DC DH.DA.
 b) Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
 c) Gọi M , N, P,Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF, FD, DE.
 Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường phân giác trong BD,CE cắt nhau tại O . 
 BD2 CE 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 BO2 CO2
 2
Câu 4. (1 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2.
 ------------------------------ Hết-----------------------------
- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
 2 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2023 – 2024
 MÔN: TOÁN 8
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
 - Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần 
 bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
 - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm 
 tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
 - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8
 C C B D B A D B
 Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16
 C A D A B C C A
2. Phần tự luận:
 Nội dung Điểm
 Câu 1. 
 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 146 x 3 2y 3 0.
 3,0
 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn 2n 7 và 3n 10 là các số chính phương. Chứng minh rằng 
 n 340.
 1. 2x2 146 x 3 2y 3 0 x 3 2x 2y 9 128 0,5
 Vì 2x 2y 9  2 nên ta có bảng 0,25
 x 3 128 128
 2x 2y 9
 1 1 0,5
 x 131 125
 y 135 120
 Vậy x, y 131;135 ; 125; 120  0,25
 2. Vì 2n 7 là số chính phương lẻ nên 2n 7 1 mod8 n 3  0 mod 4 0,5
 Suy ra 3n 10 là số chính phương lẻ 3n 10 1 mod8 n 3  0 mod8 0,5
 Ta có 2n 7 3n 10 5n 17  2 mod5 2n 7 1 mod5 n 3  0 mod5 0,25
 Suy ra n 340 0,25
 Câu 2. 
 4,0
 1. Giải phương trình x 2 2 2x 1 2x 7 5.
 3 1 1 3
2. Cho hai số thực phân biệt a,b 0 thỏa mãn 1. Tính giá trị biểu thức 
 a3 b3 ab
 2024
 A a 1 b 1 2023 
 2 2
 1. x 2 2x 1 2x 7 5 2x 4 2x 1 2x 7 20
 0,25
 Đặt 2x 4 t . Ta có phương trình t 2 t 3 t 3 20
 0,25
 t 2 t 2 9 20 t 2 4 t 2 5 0
 0,5
 2x 4 2
 2 
 t 4 2x 4 2
 t 2 5 2x 4 5
 2x 4 5 0,5
 x 1
 x 3
 5 4 5 4 5 4 
 x . Vậy S 1; 3; ; 
 2 2 2  
 0,5
 5 4
 x 
 2
 3 3 0,5
 1 1 3 1 1 3 1 1
 2. Ta có 3 3 1 1 3. . . 1 0
 a b ab a b a b
 1 1 1 1 1 1 1 
 1 2 2 1 0
 a b a b ab a b 0,5
 2 2 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 Vì 1 1 1 0 (vì a b )
 2 2 0,5
 a b ab a b 2 a b a b 
 1 1
 Suy ra 1 0 a b ab ab a b 0
 a b 0,25
 2024 2024 2024
 A a 1 b 1 2023 ab a b 1 2023 2024
 0,25
Câu 3.
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh rằng BD.DC DH.DA.
 b) Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
 c) Gọi M , N, P,Q, I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF, FD, DE. 4,0
 Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường phân giác trong BD,CE cắt nhau tại O . 
 BD2 CE 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 BO2 CO2
 4 1. A
 E
 Q
 F
 P H N
 K
 I
 B D M C
 BD DH
 a) Chỉ ra được BDH : ADC(g.g) BD.DC DH.DA
 AD DC 1,0
 b) Chứng minh được AEF : ABC c.g.c ·AEF ·ABC 0,25
Tương tự: D· EC ·ABC. Do đó ·AEF D· EC 0,25
Mà ·AEF H· EF D· EC H· ED 900 nên H· EF H· ED 0,25
 EH là phân giác của góc FED . Chứng minh tương tự có FH là phân giác của góc EFD 0,25
Do đó H là giao của các đường phân giác trong của tam giác DEF . Suy ra điều phải chứng minh.
 1
 c) Do BEC vuông tại E , M là trung điểm BC nên EM BC (trung tuyến ứng với cạnh 0,25
 2
 1
 huyền), Tương tự: FM BC
 2
Do đó: EMF cân tại M , mà Q là trung điểm EF 0,25
 MQ là đường trung trực của EF 0,25
Tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giác DEF nên ba đường 0,25
thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai 
đường phân giác trong BD,CE cắt nhau 
tại O . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 1,0
 BD2 CE 2
 .
 BO2 CO2
Xét ABC có BD là đường phân giác trong nên 
 CD BC CD BC CD BC CD AC
 .
 AD AB AD CD AB BC AC AB BC BC AB BC
Xét BCD có CO là đường phân giác trong nên 
 OD CD AC OD OB AC AB BC BD AC AB BC
 .
 OB BC AB BC OB AB BC BO AB BC 0,25
 CE AC AB BC
Tương tự ta có .
 CO AC BC
 5 2
 BD CE AC AB BC AC AB BC AC AB BC 
Suy ra . . .
 BO CO AB BC AC BC AB BC AC BC 0,25
Đặt BC a; AC b; AB c .
Tam giác ABC vuông tại A nên BC 2 AB2 AC 2 a2 b2 c2 .
Như vậy
 2 2
 BD CE AC AB BC a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 . 
 BO CO AB BC AC BC a b a c a2 ac ab bc
 2 2
 b2 c2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2 b c ab bc ca 0,25
 2
 b2 c2 ac ab bc b2 c2 ac ab bc
 BD2 CE 2 BD CE
 2. . 4
 BO2 CO2 BO CO 0,25
 BD2 CE 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 4. Dấu ‘=’ xảy ra VABC vuông cân tại A.
 BO2 CO2
 2
Câu 4. Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0. Tìm giá trị lớn nhất 
 1,0
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2.
 2
 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0
 2 0,25
 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1
 2
 x2 y2 1 3x2 1
 2 2 2 2 2 2
Ta có: 3x 1 1x x y 1 1 1 x y 1 1 0 A 2 0,25
 x 0
 Vậy min A 0 x y 0
 A 0 2 2 x y 0. 0,25
 x y 0
 x 0 x 0 x 0
 . Vậy 
 A 2 2 2 2 max A 2 2
 x y 2 y 2 y 2 0,25
 .Hết .
 6