Hệ thống kiến thức Toán 12

c cơ bản của phép đếm: 
a. Quy tắc cộng: Nếu một hành động (H) có các trường hợp: A; B; C; ... 
 Trường hợp A có m cách thực hiện. 
 Trường hợp B có n cách thực hiện. 
 Trường hợp C có p cách thực hiện ... Thì (H) có m + n + p + ... cách thực hiện. 
b. Quy tắc nhân: Nếu một hành động (H) có các giai đoạn: A; B; C; ... 
 Giai đoạn A có m cách thực hiện. 
 Giai đoạn B có n cách thực hiện. 
 Giai đoạn C có p cách thực hiện ... Thì (H) có m.n.p. ... cách thực hiện. 
2. Hoán vị: (Permutation) 
Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập X theo một thứ tự nhất định được gọi là 
một hoán vị của n phần tử. 
 Pn = n! = 1.2.3...n 
 Quy ước: 0! = 1 
3. Chỉnh hợp: (Arrangement) 
Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập X (0 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất định 
được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. 
k)!(n
n!A kn −
= 
 Đặc biệt:
 n!PA n
n
n == 
4. Tổ hợp: (Combination) 
Định nghĩa: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là 
một tổ hợp chập k của n phần tử. 
k)!(nk!
n!Ckn −
= 
 Tính chất: 
 CCC
CC
k
1-n
1-k
1-n
k
n
k-n
n
k
n
+=
=
5. Công thức nhị thức Newton: 
 baC bCabC...baC...baCbaCaCb)(a
n
0k
kknk
n
nn
n
1n1-n
n
kknk
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n ∑
=
−−−−− =+++++++=+ 
Đặc biệt: 
n
n
n1-n
n
1nk
n
k2
n
1
n
0
n
n
n
n
1-n
n
k
n
2
n
1
n
0
n
nn
C1)(C1)(...C1)(...CCC1)(10
CC...C...CCC1)(12
−+−++−+−+−=−=
+++++++=+=
−
6. Tam giác Pascal: 
Cho ta biết các hệ số của khai triển Newton với n không quá lớn. 
Hệ thống kiến thức Toán 12 
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận 
0987.192212 Trang 10 
n = 0: 1
n = 1: 1 1
n = 2: 1 2 1
n = 3: 1 3 3 1 
n = 4: 1 4 6 4 1 
n = 5: 1 5 10 10 5 1 
n = 6: 1 6 15 20 15 6 1 
n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 
n = 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 
n = 9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 
...
HÌNH HỌC 
I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: 
1. Các phép toán về vectơ: 

 


 




 




 


 


 

2 2
Cho u = (x; y); v = (x'; y').
u ± v = (x ± x'; y ± y')
k.u = (kx; ky)
u . v = x.x'+ y.y'
u = x + y 
u . vcos(u;v) =
u . v
 Cho A(xA; yA); B(xB; yB): 
AB = (xB – xA; yB – yA ) 
* Điểm M(xM; yM) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì: 
− −
− −
A B A B
M M
x kx y kyx = y =
1 k 1 k
 * Điểm M(xM; yM) trung điểm AB 
+ +A B A B
M M
x x y yx = y =
2 2
2. Đường thẳng: 
2.1. Phương trình đường thẳng: 

 Đường thẳng d qua M(x0; y0), chỉ phương a = (a1; a2) có: 
PTTS: 



0 1
0 2
x = x + ta
y = y + ta
; PTCT: 
− −
=0 0
1 2
x x y y
a a
Hệ thống kiến thức Toán 12 
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận 
0987.192212 Trang 11 

 Đường thẳng d qua M0(x0; y0), pháp vectơ n = (A; B) cóPTTQ: 
d: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 
Chú ý: 
 Nếu d có n = (A; B) thì a = (B; – A) hoặc a = (– B; A). 
 d // d’: Ax + By + C = 0 thì d: Ax + By + C’ = 0. 
 d ⊥ d’: Ax + By + C = 0 thì d: Bx – Ay + C’ = 0. 
2.2. Góc, khoảng cách: 
 Cho điểm M0(x0; y0) và d: Ax + By + C = 0 thì: 
0 0
0 2 2
Ax + By + C
d(M ,d) =
A + B
 Cho hai đường thẳng d có pháp vectơ n ; d’ có pháp vectơ n’ thì: 
.

 


 

n.n'
cos(d, d') =
n n'
2.3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: 
Cho d: Ax + By + C = 0 và d’: A’x + B’y + C’ = 0. 
≠
A B
A' B'
: d cắt d’ 
= ≠
A B C
A' B' C'
: d // d’ 
= =
A B C
A' B' C'
: d ≡ d’ 
3. Đường tròn: (Circle) 
3.1. Cho I(a; b), R > 0. 
 C(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 
 ⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (c = −2 2 2a + b R ) 
3.2. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: 
 Cho M0((x0; y0) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. 
 PM/(C) = 2 20 0 0 0x + y 2ax 2by + c− − 
4. Ba đường Cônic: 
4.1. Elip: 
 Cho elip (E): 
2 2
2 2
x y+ =1
a b
(a > b) 
 b2 = a2 – c2. 

 Trục lớn: 2a; trục bé: 2b. 

 Các đỉnh: 
A1(– a; 0), A2(a; 0) 
B1(0; – b), A2(0; b) 

 Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0). 

 Tâm sai: =
ce
a
; đường chuẩn: = ±
ax
e
M
O F1(– c; 0) F2(c; 0) x 
y 
Hệ thống kiến thức Toán 12 
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận 
0987.192212 Trang 12 

 Tiếp tuyến với (E): 
2 2
2 2
x y+ =1
a b
 tại M0(x0; y0) là d: 0 02 2
x.x y.y+ =1
a b
. 

 Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E): 
2 2
2 2
x y+ =1
a b
 ⇔ A2.a2 + B2.b2 = C2(C ≠ 0) 
4.2. Hyperbol: 
 Cho Hyperbol (H): −
2 2
2 2
x y =1
a b
 b2 = c2 – a2. 

 Trục thực: 2a; trục ảo: 2b. 

 Đỉnh thực: 
A1(– a; 0), A2(a; 0) 

 Đỉnh ảo: 
B1(0; – b), A2(0; b) 

 Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0). 

 Tâm sai: =
ce
a
; đường chuẩn: = ±
ax
e

 Tiệm cận: = ±
by x
a

 Tiếp tuyến với (H): −
2 2
2 2
x y =1
a b
 tại M0(x0; y0) là d: −0 02 2
x.x y.y =1
a b
. 

 Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H): −
2 2
2 2
x y =1
a b
 ⇔ A2.a2 – B2.b2 = C2(C ≠ 0). 
4.3. Parabol: 
 Cho parabol (P): y2 = 2px 

 Tiêu điểm: F(
p
2
; 0). 

 Đường chuẩn: −
px =
2

 Tiếp tuyến với (P): y2 = 2px tại M0(x0; y0) là: 
d: y.y0 = p(x + x0) 

 Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): y2 = 2px 
⇔ pB2 = 2A.C. 
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 
1. Các phép toán về vectơ: 
O 
F1(– c; 0) F2(c; 0) 
x 
x 
y 
O 
F(
p
2
; 0) 
x 
y 
Hệ thống kiến thức Toán 12 
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận 
0987.192212 Trang 13 
'±
+

 


 




 




 


 


 

2 2 2
Cho u = (x; y; z); v = (x'; y'; z').
u ± v = (x ± x'; y ± y'; z z )
k.u = (kx; ky; kz)
u . v = x.x'+ y.y'+ z.z'
u = x + y z 
u . vcos(u;v) =
u . v
 Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB): 
AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA ) 
* Điểm M(xM; yM) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì: 
− − −
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kzx = y = z =
1 k 1 k 1 k
 * Điểm M(xM; yM) trung điểm AB 
+ + +A B A B A B
M M M
x x y y z zx = y = z =
2 2 2
2. Tích có hướng của hai vectơ, ứng dụng: 
∆
 
  =   
 
 =  
 
 







 


 
 

1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ABC
ABCD
Cho a = (x ;y ;z );b = (x ;y ;z )
y z z x x y
a ,b ; ;
y z z x x y
1S AB, AC
2
1V = AB, AC .AD
6
2. Mặt phẳng: 
Mặt phẳng α qua M0(x0; y0), pháp vectơ n = (A; B; C) cóPTTQ: 
α: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 
Chú ý: 
 α có hai chỉ phương 


a ,b thì có pháp véctơ   


 
n = a ,b . 
 α qua A, B, C thì có pháp véctơ   

 

n = AB ,AC . 
3. Đường thẳng: 
Đường thẳng d qua M(x0; y0; z0), chỉ phương a = (a1; a2; a3) có: 
PTTS: 





0 1
0 2
0 3
x = x + ta
y = y + ta
z = z + ta
; PTCT: 0 0 0
1 2 2
x x y y z z
= =
a a a
− − −
⇔ 
0 0
1 2
0 0
2 2
x x y y
=
a a
y y z z
=
a a
− −


− −

Hệ thống kiến thức Toán 12 
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận 
0987.192212 Trang 14 
4. Vị trí tương đối: 
4.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: 
 Cho hai mặt phẳng: 
α: Ax + By + Cz + D = 0 
β: A’x + B’y + C’z + D’ = 0 
 A : B : C ≠ A’ : B’ : C’: α cắt β. 
 
A B C D= = =
A' B' C' D'
: α ≡ β. 
 
A B C D= =
A' B' C' D'
≠ α // β. 
4.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: 
 d1 qua M1(x1; y1; z1), chỉ phương a = (a1; a2; a3) 
 d2 qua M2(x2; y2; z2), chỉ phương b = (b1; b2; b3) 
   = 




1 2a ,b .M M 0⇔ d1 và d2 đồng phẳng. 
 a1: a2: a3 ≠ b1: b2: b3: d1 cắt d2. 
 a1: a2: a3 = b1: b2: b3 : d1 ≠ (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1): d1 // d2. 
 a1: a2: a3 = b1: b2: b3 : d1 = (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1): d1 ≡ d2. 
   ≠ 




1 2a ,b .M M 0⇔ d1 và d2 chéo nhau. 
4.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
 Đường thẳng d qua M(x0; y0; z0), chỉ phương a. 
Mặt phẳng α: Ax + By + Cz + D = 0 có pháp véctơ n 
 ≠

 
a .n 0 :d cắt α. 
 

 
a .n = 0 : 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0: d // α. 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0: d ⊂ α. 
5. Góc: 
5.1. Góc giữa hai đường thẳng: 
 d có chỉ phương a. d’ có chỉ phương a’ thì 
.

 


 

a.a'
cos(d, d') =
a a'
5.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
 d có chỉ phương a. α có pháp véctơ n thì 
.
α

 


 

a.n
sin(d, ) =
a n
5.3. Góc giữa hai mặt phẳng: 
 α có pháp véctơ n , β có pháp véctơ n’ thì 
.
α β

 


 

n.n'
cos( , ) =
n n'
6. Khoảng cách: 
6.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: 
Hệ thống kiến thức Toán 12 
Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận 
0987.192212 Trang 15 
Cho điểm M0(x0; y0; z0) và α: Ax + By + Cz + D = 0 thì: 
0 0 0
0 2 2 2
Ax + By + Cz +D
d(M ,d) =
A + B + C
6.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
Cho điểm M0(x0; y0; z0) và đt d đi qua M1, chỉ phương a thì: 
0 1
1
M M .u 
d(M ,d) =
u
 
 

 


 
6.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 d qua M, chỉ phương a. d’ qua M’, chỉ phương a’ thì 
[ ]
[ ]
a.a' .MM' 
d(d,d') =
a.a'


 


 
 
7. Mặt cầu: (Sphere) 
3.1. Cho I(a; b; c), R > 0. 
 S(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2. 
 ⇔ x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (d = 2 2 2 2a + b + c R− ) 
3.2. Tương giao của mặt cầu và mặt phẳng: 
 Cho: S(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2. 
 α: Ax + By + Cz + D = 0 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I(a; b; c) lên α ⇒ IH = d(I, α) 

 Nếu IH > R: α không cắt (S). 

 Nếu IH = R: α là mặt tiếp diện của (S) tại H. 

 Nếu IH < R: α cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn: 
 C(H, 2
2 2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0
IH ) :
(x a) + (y b) + (z c) = R
2R

− 
− − −
Giáo viên: Nguyễn Hữu Chung Kiên 
Trường THPT Vĩnh Thuận 
Email: nhchungkien@gmail.com 
Website: fun.easyvn.com/chungkien