Chuyên đề Kết hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Ngô Thị Lai

CHUYấN ĐỀ 
“KẾT HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” 
Người thực hiện: 
Ngụ Thị Lai 
A. LÍ DO M Ở CHUYấN ĐỀ 
 Qua th ực tế giảng d ạy tụi nhận thấy khi đư a vào một số ph ươ ng phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử như: Phương pháp tách hạng tử ,phưương pháp thêm bớt cùng một hạng tử ,phương pháp đặt ẩn phụ , giỳp học sinh cú hứng thỳ giải nhiều bài toỏn khú và giải ở mức độ nhanh hơn. Đặc biệt cũn làm tiền đề cho việc giải phương trỡnh, bất phương trỡnh nờn tụi quyết định mở chuyờn đề “ kết hợp CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” 
B. NỘI DUNG 
Phần I : Các phương pháp phân tích 
1. Phương pháp đặt nhân tử chung 
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức : 
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : 
4. Phương pháp tách hạng tử : 
5. Phương phỏp thờm bớt cựng một hạng tử 
6. Phương phỏp đặt ẩn phụ : 
Phần II : Các bài tập áp dụng 
Trỡnh tự suy nghĩ khi phân tích đa thức thành nhân tử 
Thường suy ngh ỉ theo trỡnh tự sau : 
 Bước 1 : N ghĩ đến đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức . 
 VD1 : 3(x-y) + 5x(x-y) = (x-y)(3+5x) 
VD2  : x 2 - 4x + 4 = (x-2) 2 
 Bước 2: N ghĩ đến nhóm các hạng tử . 
VD3 : x 2 -3x + xy-3y = (x 2 -3x) + (xy-3y) 
 = x(x-3) + y(x-3) =(x-3)(x + y) 
 Bước 3 : N ghĩ đến các phương pháp đặc biệt . 
( Cú thể kết hợp cựng một lỳc nhiều phương phỏp) 
Phần I : Các phương pháp phân tích  đa thức thành nhõn tử 1/ Phương pháp đặt nhân tử chung 
a. Các bước tiến hành : 
Bước 1 : Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc . 
Bước 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức phải phân tích cho nhân tử chung . 
Bước 3 : Trường hợp nếu không có nhân tử chung mà có nhân tử đối thỡ phải tiến hành đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung 
b.Các ví dụ : 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
VD1 :P= -17x 3 y-34x 2 y 2 +51xy 3 
P= 17x y (-x 2 -2xy +3y 2 ) 
VD2 : Q= 16x 2 (x-y)-10y(y-x) 
 Q= 16x 2 (x-y) + 10y( x - y ) 
 Q= (x-y) (16x 2 + 10y ) 
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức : 
(Dùng khi các hạng tử của đa thức cần phân tích có dạng hằng đẳng thức ) 
2.1 Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ . 
(A+B) 2 =A 2 + 2AB + B 2 
 (A-B) 2 =A 2 - 2AB + B 2 
A 2 –B 2 =(A-B)(A+B) 
(A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 
(A-B) 3 = A 3 -3A 2 B +3AB 2 - B 3 
A 3 -B 3 =(A- B)( A 2 + AB + B 2 ) 
A 3 +B 3 =(A+B)( A 2 - AB + B 2 ) 
Lưu ý thêm các hằng đẳng thức : 
 a. (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB +2BC +2CA). 
 b. A n -B n =(A- B)( A n-1 + A n-2 B + ...+B n-1 ) 
 c. 1-x n = (1-x)(1+x+x 2 +... +x n-1 )	 
.......... 
Các ví dụ 
 Phân tích đa thức thành nhân tử: 
VD1: P= (a 2 +4) 2 – 16a 2 
 P= (a 2 +4) 2 – (4a) 2 ( A 2 – B 2 ) 
 P = (a 2 +4 – 4a) (a 2 +4 + 4a) 
 = (a - 2) 2 (a+ 2) 2 
VD2: Q = (x+y) 2 + 2(x+y) +1 
 = (x+y + 1) 2 
VD3: R = a 3 +6a 2 +12a +8 
 = (a+2) 3 
3 . Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : 
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức cần phân tích khi đa thức có nhân tử chung, hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức, ta tiến hành theo các bước sau : 
Bước 1 : Phát hiện nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ ở từng nhóm . 
Bước 2 : Nhóm hạng tử để áp dụng phương pháp hằng đẳng thức và nhân tử chung cho từng nhóm . 
Bước 3 : Đ ặt nhân tử chung cho toàn đa thức . 
Các ví dụ : 
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử 
VD1: P= ax +bx - ab - x 2 
P= (ax – ab) –(x 2 -bx) 
P= a(x –b) – x(x – b) = (x – b)(a – x) 
VD2: Q= x 2 - 2xy + y 2 - 2x + 2y 
Q= ( x – y) 2 - 2(x – y) 
Q= (x – y)(x – y – 2) 
4. Phương pháp tách hạng tử : 
a/ Trường hợp đa thức dạng : ax 2 +bx+c (a,b,c  Z ; a,b,c  0) 
*Nội dung : 
Kiểm tra : b 2 - 4ac : 
Nếu b 2 - 4ac < 0 : Đ a thức không phân tích được 
Nếu b 2 - 4ac = 0 : Đ a thức chuyển về dạng bỡnh phương của một nhị thức 
Nếu b 2 - 4ac > 0 : Đ ặt b 2 - 4ac = k 2 (k Q ), đa thức phân tích được trong tập hợp Q . 
Khi b 2 - 4ac k 2 : đa thức phân tích đưược trong tập hợp R 
 cách làm : 
Tỡm tích ac 
Xem tích a.c = b 1 .b 2 nào mà b 1 + b 2 = b . 
Tách bx = b 1 x+ b 2 x ( Sau đú phân tích theo cách thông thường) 
Phân tích đa thức thành nhân tử : 
P = x 2 - 6x + 8 
 = x 2 -2x - 4x+8 
 = x(x-2) - 4(x-2) 
 = (x-2)(x-4) 
Q = 3x 2 +5x+2 
 = 3x 2 +3x+2x+2 
 =3x(x+1)+2(x+1) 
 =(x + 1)(3x + 2) 
Trường hợp đa thức từ bậc 3 trở lên 
* Nội dung : 
+ Nhẩm nghiệm của đa thức 
Nếu tổng hệ số của các hạng tử bằng 0 th ỡ đa thức có nghiệm bằng 1 . 
Nếu tổng hệ số của các hạng tử bậc chẵn với hệ số đối của các hạng tử bậc lẻ bằng 0 t hỡ đa thức có nghiệm bằng -1 . 
+ Lưu ý định lý : ô   Nếu đa thức có nghiệm nguyên th ỡ nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do .Nếu đa thức có nghiệm h ữ u tỷ p/q t hỡ P là ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hệ số hạng tử có bậc cao nhất  ằ. 
Ví dụ 
Phân tích đa thức : x 3 +3x 2 - 4 thành nhân tử 
 Giải 
Cách 1 : x 3 +3x 2 - 4 = x 3 –x 2 +4x 2 -4 
Cách 2 : x 3 +3x 2 - 4 = x 3 – 1 +3x 2 –3 
Cách 3: T ổng h ệ s ố 1+3-4 =0 
Ta được : (x-1)(x 2 + 4x +2) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
VD1 :P= -17x 3 y-34x 2 y 2 +51xy 3 
P= 17x y (-x 2 -2xy +3y 2 ) 
P= 17x y (-x 2 -xy + 3 xy +3y 2 ) 
P=17x y [ (-x 2 - xy) + (3 xy +3y 2 )] 
P=17x y [-x (x +y) + 3y( x +y)] 
P=17x y (x +y)(-x + 3y ) 
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử 
 * Nội dung : 
 Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển dạng hiệu hai b ỡ nh phương , hoặc áp dụng được phương pháp nhóm . 
 * Các ví dụ : 
 Phân tích đa thức thành nhân tử 
 P = x 4 +4 
 = x 4 +4+ 4x 2 -4x 2 
 = (x 2 +2) 2 - (2x) 2 
 = (x 2 +2-2x) ( x 2 +2+2x) 
Q = x 2 -6x+8 
 = x 2 -6x+8+1-1 
 = (x-3) 2 - 1 2 
 = (x-3-1) (x-3+1) 
 = (x-4)(x-2) 
6 . Phương pháp đặt ẩn phụ  
*Nội dung : 
Phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức phân tích để chọn và đặt ẩn phụ thích hợp. 
* Ví dụ : Phân tích đa thức A thành nhân tử 
A = (x 2 + x) 2 +4x 2 +4x-12 
 = (x 2 + x) 2 + 4 (x 2 + x )- 12 
Đ ặt x 2 +x = X ta có A = X 2 + 4X -12 
 =X 2 + 4X+4 -16 
 = (X +2) 2 - 4 2 = (X+6)(X-2) 
Thay X = x 2 + x vào ta có 
A = (x 2 +x +6)(x 2 +x - 2) = (x 2 + x+6) (x-1) (x+2) 
Phần II : Các bài tập áp dụng Phương pháp tách hạng tử : 
Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 P = x 2 -7xy+12y 2 
 = x 2 -3xy - 4xy +12y 2 
 = x(x - 3y)- 4y(x - 3y) 
 =(x - 3y)(x - 4y) 
Q = x 3 - 3x + 2 
 = x 3 - 1 - 3x + 3 
 =(x-1)(x 2 +x+1)- 3(x-1) 
 = (x-1)(x 2 + x-2) 
Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử : 
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 
Q = x 4 + 64 
 = x 4 +16x 2 + 64 -16x 2 
 = (x 2 + 8) 2 -(4x) 2 
 =(x 2 +8- 4x)(x 2 +8+4x) 
R= x 3 +3x 2 - 4 
R= x 3 +3x 2 - 4 
 = x 3 –x 2 +4x 2 -4x+4x-4 
 =x 2 (x-1)+4x(x-1)+4(x-1) 
 = (x-1) ( x2+4x+4) 
 = (x-1) (x+2) 2 
Phân tích đa thức P=(x 2 +x) 2 +3(x 2 +x)+2 thành nhân tử. 
Đ ặt x 2 +x = y ta có 
P = y 2 +3y +2 = y 2 +y+2y+2 
P = y(y+1)+2(y+1)=(y+1)(y+2) 
Thay y = x 2 +x ta có 
P=(x 2 +x+1)(x 2 +x+2) 
Phân tích đa thức Q=x 2 +2xy+y 2 +3x+3y-10 thành nhân tử. 
G iải 
Q =(x+y) 2 +3(x + y)-10 
Đ ặt x+y = t ta có 
Q = t 2 +3t-10 = t 2 -2t+5t-10 
 = t(t-2)+5(t-2) = (t-2)(t+5) 
Thay t = x+y ta được : 
Q = ( x + y -2 )( x + y + 5) 
C. KẾT LUẬN 
 Trên đây là một số kinh nghiệm của b ả n thân qua thực tế gi ả ng dạy Toán 8. Tuy nhiên không thể bao quát hết được tất c ả nh ữ ng bài toán liên quan tới việc phân tích đa thức thành nhân tử trong các phạm vi rộng trong Toán Đ ại số THCS . Rất mong được sự cộng tác đóng góp ý kiến của quý thầy cụ để nõng cao ch ấ t lư ợ ng gi ả ng dạy của giáo viên và chất lượng học tập của học sinh. Phát huy tối đa kh ả n ă ng tư duy vốn có của mỗi học sinh . 
CHÚC QUí THẦY Cễ SỨC KHOẼ ! 
CHÚC CÁC EM HỌC SINH HỌC TỐT